自然数求和公式

公式推导过程

扩展公式(1. 从1加到n再从n加到1的和 2. 前若干个奇数的和)

自然数求和公式

大家都知道1+2+3+...+100=5050

这便是1到100的自然数之和。 一般的自然数求和，我们可以用下面的公式:

#1 Sn = n * (n + 1) / 2

#2 Smn=((n-m+1)/2)(m+n)

公式推导过程

1. 1到n的自然数之和: Sn = n * (n + 1) / 2　S(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = n* (n + 1) / 2

这个公式的推导十分简单，把Sn写两遍(第二遍逆序排列)

S(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n

S(n) = n + n-1 + ... + 2 + 1

两个式子相加，就得到

2S(n) = (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1)，一共是n组(n + 1)

所以S(n) = n * (n + 1) / 2

2. m到n的自然数之和(m < n): Smn=((n-m+1)/2)(m+n) Smn=[(n-m+1)(m+n)] / 2

公式2推导过程与1类似，不再赘述

也可以使用S(n) - S(m-1)来求和，计算结果都是相同的

例：求 4 + 5 + 6 + 7 + 8

这里m = 4，n = 8

代入公式2

S = (8 - 4 + 1)(8 + 4) / 2 = 30

也可以

S(8) - S(3) = 36 - 6 =30

公式2看起来比较繁琐，实际上仔细分析一下，就能发现使用的诀窍。

1）如果这一组数的个数是奇数，中间那个数就是两端点和的一半，所求的和就是中间数乘以数字的个数。仍以4 + 5 + 6 + 7 + 8为例，一共5个数字，中间的数字是6 ( 容易看出6 = (4 + 8) /2)，所求的和就是6乘以5，为30。

2）如果数字的个数是偶数，仍然可以使用中间数字乘以数字个数的办法来计算和。只不过中间数字不是整数了。以4 + 5 + 6 + 7为例，4个数字，中间数字介于5和6之间，为5.5，因此和为5.5 * 4 = 22

扩展公式

1. 从1加到n再从n加到1的和

也就是如下形式的求和

1 + 2 + ... + n - 1 + n + n - 1 + ... + 2 + 1 = n * n

这个和十分好记，就是中间数字的平方

例如1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4 * 4 = 16

2. 前若干个奇数的和

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...

如果数字总共有奇数个，那么和就是中间数字的平方。例如

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 * 5 = 25

如果偶数个数字，仍然是中间数字的平方，只是此时"中间数字“是最中间两个奇数中间的偶数而已。例如

1 + 3 + 5 + 7 = 4 * 4 = 16