所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解。

较为简单的例用

1.因式分解 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

分析：如果懂得因式定理的话，解此题自然会流畅很多，但是用主元法的话，也十分简便。

拆开原式,并按a的降幂排列得：

(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)a+b(bc+c^2)

=(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】

十字相乘图为

x--------------- b

(b+c)x -----bc+c^2

对于低次因式分解，主元法与十字相乘法的配合是卓有成效的。

2.因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2x^4

分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。

原式=(y-1)^2x^4+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】

=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)---------------------【十字相乘法】

十字相乘图为

(y-1)^2x^2 ----8y

x^2　------------2

如果能很好地利用主元法，低次因式分解就不会太难了。

高难度的主元法例用

1.因式分解2x^3+6y^3+15z^3-9x^2y+7xy^2-x^2z-16xz^2-37y^2z+32yz^2+13xyz

分析：本题属于高难度因式分解中的中档题，如果不假思索就上别的方法，就会处处碰壁。

1.原式=2x^3-(9y+z)x^2+(13yz+7y^2-16z^2)x+6y^3+15z^3-37y^2z+32yz---------------【主元法】

这样本题的条理就清晰多了，现抛开x,只看6y^3+15z^3-37y^2z+32yz,

这是一个2元三次因式分解，难度简单多了。

原式=6y^3-9zy^2-(28y^2z-32yz^2-15z^3)-------------------------【拆项法】

=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)

再代入原题目，接下来的工作就简单了。

由于首项x系数为2，所以本题难度综合来讲不是太难，算出系数2是与(y-5z)结合的。

所以原式=(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)------------------------【拆项法及十字相乘法】

接下来的部分，有兴趣的人可以看看。

旷世难题型的因式分解

竞赛类的学生，因式分解的高手可以演算一下,这是个很好的练习,对你们会很有帮助。

因式分解：

6x^4+18mx^3-6x^3y+30x^2yz-42x^2y^2+6mx^2y-6x^2mz-6x^2z+12x^2m^2+5px^3+5yx^3+15pm-5py+25pyz+25y^2z-30py^2-30y^3+5mpy+5my^2-5pmz-5myz-5pz^2-5yz^2+10pm^2+10m^2y+10yzx^2+30myzx-10xy^2z+50y^2z^2-60y^3z+10my^2z-

10myz^2-10yz^3+20m^2yz-18my^2x+6xy^3-30y^3z+36y^4-6my^3+6my^2z+6y^2z^2-12y^2m^2+10x^2zp+30zpmx-10zpyx

+50yz^2p-60y^2zp-2zpmy-10z^2pm-10z^3p-12x^2zp-36mypx+12y^2px-60y^2pz+72y^3p-12my^2p+12ypmz+12ypz^2-24m^2yp-6p^2x^2-18mxp^2+6xyp^2-30yzp^2+36p^2y^2-6myp^2+6p^2mz+6p^2z^2-12P^2m^2+24x^2z^2+72mz^2x-24yz^2+120yz^3-144y^2z^2+24myz^2-24mz^3+24z^4+48m^2z^2

终于，在其他方法都几乎失效时，主元法的威力体现了出来。

分析：看题目的确很长，但仔细观察也能发现其弱点。

1.没有常数项。

2.首项x的系数很小，预计其能分解成(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)的形式。

3.自开始起，一部分是6的倍数，紧接着是5的倍数，直到至-2zpmy这一项时，这个特点断掉了。

解题开始：

令x,y,z,p都为0，原式变成了--------2m^2

令x,y为0，原式变成了---------------12p^2m^2

令x为0，原式=-12y^3............................+12p^2m^2,此时正是用主元法的时候，

解得原式=(3y+4z+3p)(-2y+6z-2p)(2y-z+m)(-3y+z+2m)-----【主元法，拆项法，十字相乘法，提取公因式法】

解下来抱歉的是本人实在无能为力，通过把上述的四项依次填入(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)中，实际上还是要用主元法，

原式=(2x+3y+4z+3p)(3x-2y+6z-2p)(x+2y-z+m)(x-3y+z+2m)

对于这题，硬碰硬是不行的。