定义(通俗定义 严格定义)

周期函数性质

周期函数的判定(定理2 定理3 定理4 定理5)

非周期函数的判定

定义

通俗定义

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期。

严格定义

设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x）；

则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

周期函数性质

（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。

（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 f(X)不存在最小正周期（Q是有理数集）

（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

（7）周期函数f(X)的定义域M必定是至少一方无界的集合。

周期函数的判定

定理1

若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

证：

∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，

∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（ 0<T’<T*）是K f(X)+C的周期，则对 ，

有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，

∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。

同理可证1/ f(X)是集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2

若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集{X/aX+ n }上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

证：

先证 是f(ax+b)的周期

∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X ）+b=ax+b ±T*∈M，且f[a（X+ T ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。

再证 是f（ax+b）的最小正周期

假设存在T’（0<T’< ）是f（ax+b）的周期，

则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），

因当X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，

∴aT’是f(X)的周期，但 <=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。

定理3

设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

证：

设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))

∴=f(g(x))是M1上的周期函数。

例1

设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。

同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx>0)也都是周期函数。

例2

f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。

例3

f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。

证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾，

∴cos 不是周期函数。

由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。

定理4

设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。

证：

设 （(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。

定理4推论

设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

例4

f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。

例5

讨论f(X)= 的周期性

解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。

又 都是有理数

∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。

同理可证：

（1）f(X)=cos ;

(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。

定理5

设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

证

先证充分性：

若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q

由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。

再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。

（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，

使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。

令x= 得2cos（a1x+ ），则 （K∈Z）。(2)

或 C∈Z（3）

又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0

由(4)

由sin （5）

由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。

由（3）、（5得 ）（6）

∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。

（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。

非周期函数的判定

（1）若f(X)的定义域有界

例：f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数。

（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。

例：f(X)=cos 是非周期函数。

（3）一般用反证法证明。（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。

例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例：证f(X)= 是非周期函数。

证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例：证f(X)=sinx2是非周期函数

证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（>0），使对 ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0，∴( +1)2

T2=Lπ(L∈Z+)，∴

与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。