简介

原理

例子

简介

整数分拆理论，主要是研究各种类型的分拆函数的性质及其相互关系。早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究。18世纪40年代，L.欧拉提出了用母函数法（或称形式幂级数法）研究整数分拆，证明了不少有重要意义的定理，为整数分拆奠定了理论基础。解析数论中的圆法的引进，使整数分拆理论得到了进一步发展。整数分拆与模函数有密切关系，并在组合数学、群论、概率论、数理统计学及质点物理学等方面都有重要应用。

原理

整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个（或两个以上）自然数的和，并使这些自然数的积最大（或最小）；或拆成若干个连续自然数的和等等。

例子

例1 将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆？分析与解 不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。经计算，容易得知，将14分拆成7+ 7时，有最大积7×7=49。

例2 将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，如何分拆？

分析与解 不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。显见，将15分拆成7+8时，有最大积7×8=56。

注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有最大积m×m=m2；如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+（m+1）时，有最大积m×（m+1）。

例3 将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆？

分析与解 显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小（比如是0或1），这样得到的积才最大。这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有最大积4×5×5=100。