《九章算术》

“双设法”

现代数学

《九章算术》

盈不足术，中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法。成书于公元1世纪的中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”。其中第一个问题是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”这是有关盈不足术的典型问题，可用通用的数学符号表示如下：设每人出α1，盈（或不足）b1，每人出α2,盈(或不足)b2，其中在“盈”时，b1,b2>0,“不足”时,b1,b2<0。《九章算术》给出了这个问题的一般解法，即平均每人应出钱数x，人数p和物价q,可分别用下列公式计算：

在上述问题中，由公式(2)(3)可得人数 p=7，物价q=53。盈不足术是中国数学史上的一项杰出成就。用盈不足算法不仅能解决盈亏类问题，而且能解决一些更复杂的问题。

“双设法”

在11～13世纪一些阿拉伯数学家的著作中，也出现了盈不足术，并称之为天秤术或契丹算法。当时阿拉伯人所说的“契丹”,即指中国。在欧洲中世纪,为了解决px-q=0这种类型的问题,有时用到所谓“双设法”,即通过两次假设以求未知数的方法。这种方法的大意是：设α1和α2是x的两个假设值，b1和b2是差值，这时有：

(4)-(5)，得

则

α2-(5)·α1，得

所以

数学发展起来之前，双设法是中世纪欧洲解决算术问题的一种主要方法，并导致了正负号(+，-)的创用。当时这种方法还有许多别的名称，如双假位法或迭借术，增损术或盈朒术等。13世纪著名意大利数学家L.斐波那契在《算盘书》中说:“契丹法,阿拉伯名词。拉丁译文当为迭借法，……亦可称增损术。”明确指出了这种方法的渊源。因此,可以认为,正是中国古代的盈不足术经由阿拉伯传入欧洲，在欧洲数学发展中起了重要的作用。明代之后，中国传统数学逐渐失传，西方数学陆续传入中国。李之藻与利玛窦共同编译《同文算指》10卷(1613),载有双设法，译称“迭借互征”。于是,诞生于中国的盈不足术，经过一段漫长而曲折的道路，又重新回到了中国。

现代数学

在现代数学中，求解线性方程已无需用盈不足术。但为计算高次数字方程或函数方程ƒ(x)=0的实根近似值，有时还要用到公式

,显然此即公式(1)。在代数学和近似计算中,这种方法一般称为弦截法或线性插值法。