一.一元运算和二元运算(定义 1 定义 2)

二.二元运算的单位元、零元和元素的逆元(定义 3 定理 1 定理 2 定理 3 定理 4 定义 4 定义 5)

一.一元运算和二元运算

定义 1

设S是集合, 函数 f : S → S称为S上的一个 一元运算 .

例 10.1 (1) 求数的相反数是整数集合Z 、有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.

(2) 求数的倒数是非零有理数集和非零实数集上的一元运算.

(3) 求复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算.

(4) 在幂集合P(S)上, 如果规定全集为S, 则求集合的绝对补运算是P(S)上的一元运算.

(5) 设集合S上所有双射函数组成的集合为, 则求双射函数的反函数是A上的一元运算.

(6) 在n(n≥2)阶实数集合(R) 上,求矩阵的转置矩阵是(R)上的一元运算 .

注: 验证 S上一种运算是否为一元运算主要应检验两点:

(1) S中任何元素都能进行这种运算, 且运算结果是唯一的.

(2) S中任何元素进行运算的结果都仍在S中, 即S对运算 是封闭的.

定义 2

设S是集合,函数 f : S Ⅹ S → S称为S上的 二元运算 。

注: 验证 S上一种运算是否为二元运算也主要检验两点:

(1) S中任二元素都可进行这种运算, 且运算结果是唯一的.

(2) S中任二元素运算的结果都仍在S中(运算具有封闭性).

例 10.2 (1) 自然数集合N上的加法和乘法都是N上的二元运算, 但减法和除法不是。

(2) 整数集合 Z 上的加法、减法和乘法都是 Z 上的二元运算, 但除法不是。

(3) 实数域 R 和有理数域 Q 上的加法、减法、乘法都是二元运算, 但除法不是; 非零实数域和非零有理数域上的乘法和除法都是二元运算, 但加法和减法不是。

(4) 在所有 n阶实矩阵(n≥2)形成的集合M n(R) 上, 矩阵的加法和乘法都是二元运算。

(5) S 为任意集合, 则∪, ∩, －, ⊕ 为 S 的幂集 P(S) 上的二元运算.

(6) S 为集合, S 上所有函数形成的集合为. 则函数的复合运算⌈是上的二元运算。

注: 通常用符号 *, , ·, …, 等来表示运算, 称为运算符。

例 10.3 设有实数域R上的二元运算: ∀ x , y ∈ R, x * y = x, 计算

解:

有限集合 S上的一元和二元运算除了使用函数表达式给出外, 也可以用运算表给出; 运算表的一般格式为:

例 10.4 设S={1,2},给出P(S)上的补运算～和对称差运算 ⊕ 的运算表 ,其中全集为S。

解: 所求运算表如下 :

例10.5 设S={1,2,3,4},定义 S上的二元运算如下: xy=(xy)（mod 5）, ( ∀ x, y ∈ S)

求运算的运算表。

解: 所求运算表如下:

二.二元运算的单位元、零元和元素的逆元

定义 3

设为集合S上的二元运算。

(1) 若 ∃ ∈ S (或 ∃ ∈ S ), 使得对 ∀ x ∈ S 都有

x = x ( 或 x=x )

则称是 S中关于运算⌈的 左单位元 ( 称 为S中关于运算⌈的 右单位元 )。

如果 e ∈ S关于运算⌈既是左单位元又是右单位元, 则称为 单位元 或 幺元 。

(2) 若 ∃ θ l ∈ S (或 ∃ θ r ∈ S), 使得对∀ x ∈ S 都有

θ l x = θ l ( 或 x θ r = θ r )

则称 θ l 是 S中关于运算 的 左零元 (称 θ r 是 S中关于运算 的 右零元 )。若 θ ∈ S关于运算 既是左零元又是右零元, 则称它是S中关于运算 的 零元 。

(3) 设e ∈ S是运算 的单位元, x ∈ S。若 $ ∈ S (或 $ ∈ S), 使得

i x = e (或 x =e )

则称 是在运算 下元素x的 左逆元 (称 是在运算 下元素 x 的 右逆元 )。

若 y ∈ S既是x 的左逆元又是x 的右逆元, 则称 y是x 在运算 下的 逆元 。存在逆元的元素称为可逆的。

注1

♥ 在数集 N, Z, Q, R上，0是加法的单位元，1是乘法的单位元；

♥ 在 n阶实矩阵集合M n(R)上，全0的n阶矩阵是矩阵加法的单位元, n 阶单位矩阵是矩阵乘法的单位元；

♥ 在幂集P(S)上, F 是∪运算的单位元 , 全集S是∩运算的单位元, F 也是对称差运算 ⊕ 的单位元；

♥ 在上，恒等矩阵 I A 是函数复合运算的单位元。

注2

♥ 在数集N, Z, Q, R上，加法没有零元，0 是乘法的零元；

♥ 在 M n(R)上, 矩阵加法没有零元, 全 0 的 n 阶矩阵是矩阵乘法的零元;

♥ 在P(S)上, 全集 S 是∪运算的零元, F 是∩运算的零元，⊕ 没有零元；

注3

♥ 在自然数集N上，只有0有加法逆元，就是它自己；

♥ 在数集Z,Q,R上, 每个数字x关于加法运算都有逆元, 即它的相反数–x ;

♥ 在数集Q,R上, 每个非零数字x关于乘法运算都有逆元, 即它的倒数 ；

♥ 在集合M n(R)上，每个 n 阶实矩阵 M 关于矩阵加法都有逆元–M; 每个n 阶实可逆矩阵 M 关于矩阵乘法都有逆元 ;

♥ 在P(S)上，关于并运算∪，只有 F 有逆元，就是它自己；

关于交运算∩，只有全集S有逆元，就是它自己。

定理 1

(1) 设为S上的二元运算。如果在S中关于该运算既存在左单元 又存在右单元 , 则必存在单位元e , 且 = =e。

(2) S上关于运算的单位元是唯一的。

证: (1) 因 是右单位元，故= ;

又因是左单位元，故 = 。从而 = 。

令 e = = , 易见 e 是单位元。

(2) 设e 和e ' 都是 S中关于运算的单位元，则

e=e e ' = e'

可见，单位元是唯一的。

定理 2

(1) 设为S上的二元运算。如果在S中关于该运算既有左零元 θ l 又有右零元 θ r ，则必存在零元 θ ，且 θ l = θ r = θ .

(2) S上关于运算的零元是唯一的。

证明与上一定理类似，留作练习。

定理 3

设为S上的二元运算, e 和 θ 分别为该运算的单位元和零元。如果 S 至少有两个元素，则e≠ q .

证：用反证法。假设 e= θ ，则对 ∀x ∈ S，有 x= xe= xθ = θ . 这与 S中

至少有两个元素矛盾。

定理 4

设为S上的可结合的二元运算，(“可结合”见下文定义)，e 为该运算的单位元。 (1) 如果S中一个元素x在该运算下既有左逆元 又有右逆元 ，则它必有逆元 y , 且 = =y；(2) 若 x ∈ S在运算下有逆元，则逆元是唯一的。

证: (1) 由 x = e 和 x =e 得

= e = ( x ) = ( x ) = e = 。

令 y = = , 则易见 y 是 x 的逆元。

(2) 设 y 和 y ' 都是元素 x 在运算 下的逆元，则

y ' = y ' e= y '(x y)=(y ' x) y=e y=y 。

由此可见 x 的逆元是唯一的。

三.二元运算的运算律

定义 4

(1)设为集合S上的二元运算. 如果对 ∀ x, y ∈ S,都有

xy=yx,

则称运算在S上具有 交换律 ，或称运算在 S上是交换的。

(2) 设为集合 S上的二元运算。如果对 ∀ x , y, z ∈ S, 都有

(x y) z = x (y z)

则称运算在S上具有 结合律 ，或称运算 在S上是结合的。

(3) 设为集合S上的二元运算。如果对 ∀ x ∈ S,都有

x x =x

则称运算 在S上具有 幂等律 ，或称运算 在S上是幂等的。

(4) 设和·是集合S上两个二元运算。如果对 ∀ x , y, z ∈ S,都有

x ·(y z)=(x · y) (x · z) (或都有 (y z) · x=(y · x) (z · x))

则称运算·对运算具有 左分配律 (或 右分配律 )。若·对既有左分配律又具有右分配律，则称·对具有 分配律 。

定义 5

(1) 设和·是集合S上的两个可交换的二元运算。如果对 ∀ x , y ∈ S，都有

x·(x y)=x,

则称运算·对运算具有吸收律。如果·对具有吸收律，且对·也具有吸收律，则称运算·和在S上是 吸收的 。

(2) 设是集合S上的二元运算，如果对 ∀x , y, z ∈ S,都有

xy=xz ∧ x ≠零元) ⇒ y=z

或都有 (yx=zx ∧x ≠零元) ⇒y=z）

则称运算 在S上具有 左消去律 (或具有 右消去律 )。若运算在S上既具有左消去律又具有右消去律，则称它在S上具有 消去律 。

注1.

常见的二元运算满足交换律,结合律,幂等律和消去律的情况：

♠　& 集合的并和交不满足消去律的例子 ：

A={1,3,4,5}, B={1,2,4,5}, C={1,2,3}, D={1,3},

则 A∪C=B∪C={1,2,3,4,5}, 但A≠B；

A∩C=D∩C={1,3}, 但A≠D.

♠　& 函数的复合运算不满足消去律的例子：

注2.

集合 N,Z,Q,R,C上数字的乘法对加法具有分配律；

n 阶实矩阵集合 M n(R) 上矩阵的乘法对加法具有分配律；

幂集 P(S)上交和并运算∩与∪是互相可分配的。

注3.

幂集P(S)上的∪与∩运算满足吸收律，即 ∀ A, B ∈ P(S), 有A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A。

注4.

设是集合S上的二元运算. 若S中某元素 x 满足xx=x, 则称x为运算⌈的幂等元。显然, 若二元运算在S上具有幂等律, 则S中每个元素都是 运算的幂等元。

例 10.6 对下列二元运算, 指出其运算性质, 并求其单位元、零元和

所有可逆元的逆元。

解: (1) * 运算可交换、可结合, 是幂等的, 不存在零元。因为对 ，x * 1=1 * x=x , 故1是单位元。除1外, 其它元素无逆元, 1 的逆元是它 自己。

(2) ① ∵ 对 ∀x , y ∈ Q, x * y = x+y – xy = y+x – yx = y* x , 故*满足交换律；

② ∵ 对 ∀ x , y, z ∈ Q, 有

(x * y ) * z = (x+y – xy) * z = x+y+z – xy – xz – yz+xyz ,

x * (y * z ) = x * (y+z – yz) = x+y+z – yz – xz – xy+xyz .

可见 * 满足结合律；

③ ∵ 对 2 ∈ Q, 有 2*2=2+2–2 ′ 2=0 1 2, 故*不满足幂等律；

④ ∵ 对 ∀x , y, z ∈ Q 且 x 1 1 (1是零元)，有

x*y = x*z ⇒ x+y – xy = x+z – xz ⇒y – z = x(y – z) ⇒y = z。

故满足左消去律, 由于可交换, 故也满足右消去律, 从而*满足消去律；

⑤ 因为对 ∀ x ∈ Q，都有 x*0 = x = 0*x，故 0是*的单位元；

⑥ 因为对 ∀ x ∈ Q，都有 x*1=1=1*x，故 1是*的零元；

⑦ 因为对 ∀ x ∈ Q，欲使 x*y=0 和 y*x=0成立，即

x+y – xy = 0,

解得 ，故每一非零元x都有逆元 。

例 10.7 设A={a, b, c}, A上的二元运算 * ,,· 如表所求。

(1) 说明它们是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。

(2) 求出它们的单位元、零元和所有可逆的逆元。

表格

解: *运算 满足交换律、结合律和消去律 , 不满足幂等律。单位元是a;没有零元；, .

运算 满足交换律、结合律和幂等律 , 不满足消去律,单位元是a,零元是b. 仅仅a 有逆元： .

· 运算 满足交换律、结合律和幂等律 , 不满足交换律和消去律。没有单位元和零元，任何元素都无逆元。