词条 | 燕尾定理 |
释义 | 简介燕尾定理,因此图类似燕尾而得名,是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB 上点,满足AD、BE、CF 交于同一点O)。S△ABC中,S△AOB:S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD:CD; 同理,S△AOC:S△BOC=S△AFO:S△BFO=AF:BF; S△BOC:S△BOA=S△CEO:S△AEO=EC:AE。 证法证法1下面的是第一种方法:利用合比性质 ∵△ABD与△ACD同高 ∴S△ABD:S△ACD=BD:CD 同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD 利用分比性质,得 S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD 即S△AOB:S△AOC=BD:CD 命题得证。 证法2 下面的是第二种方法:相似三角形法已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。 求证:AE=CE 证明: 如图,过点O作MN∥BC,交AB于点M,交AC于点N; 过点O作PQ∥AB,交BC于点P,交AC于点Q。 ∵MN∥BC ∴△AMO∽△ABD,△ANO∽△ACD ∴MO:BD=AO:AD,NO:CD=AO:AD ∴MO:BD=NO:CD ∵AD是△ABC的一条中线 ∴BD=CD ∴MO=NO ∵PQ∥AB ∴△CPO∽△CBF,△CQO∽△CAF ∴PO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CF ∴PO:BF=QO:AF ∵CF是△ABC的一条中线 ∴AF=BF ∴PO=QO ∵MO=NO,∠MOP=∠NOQ,PO=QO ∴△MOP≌△NOQ(SAS) ∴∠MPO=∠NQO ∴MP∥AC(内错角相等,两条直线平行) ∴△BMR∽△BAE(R为MP与BO的交点),△BPR∽△BCE ∴MR:AE=BR:BE,PR:CE=BR:BE ∴MR:AE=PR:CE ∵MN∥BC,PQ∥AB ∴四边形BMOP是平行四边形 ∴MR=PR(平行四边形的对角线互相平分) ∴AE=CE 命题得证。 证法3 下面的是第三种方法:面积法 已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。 求证:AE=CE 证明: 如图, ∵点D是BC的中点,点F是AB的中点 ∴S△CAD = S△BAD,S△COD = S△BOD ∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD 即S△AOC(绿) = S△AOB(红) ∵S△ACF = S△BCF,S△AOF = S△BOF ∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF 即S△AOC(绿) = S△BOC(蓝) ∴S△AOB(红) = S△BOC(蓝) ∵S△AOE:S△AOB(红) = OE:OB,S△COE:S△BOC(蓝) = OE:OB ∴S△AOE:S△AOB(红) = S△COE:S△BOC(蓝) ∵S△AOB(红) = S△BOC(蓝) ∴S△AOE = S△COE ∴AE=CE 命题得证。 证法4 下面的是第四种方法:中位线法 已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。 求证:AE=CE 证明: 如图,延长OE到点G,使OG=OB。 ∵OG=OB ∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点 ∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半) ∵点O是BG的中点,点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG ∵AD∥CG,CF∥AG ∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分 ∴AE=CE 命题得证。 证法5:因为ABCO是凹四边形,根据共边比例定理,命题得证 推广:共边比例定理四边形ABCD(不一定是凸四边形),设AC,BD相交于E则有BE/DE=S△ABC/S△ADC 此定理是面积法最重要的定理 |
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