匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

问题简介

算法描述

时间空间复杂度

样例程序(格式说明 邻接矩阵-C 邻接矩阵-Pascal 邻接表-C++ 邻接矩阵-C++)

问题简介

设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1,V2之并，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。则称图G为二分图。二分图也可记为G=(V1,V2,E)。

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

算法描述

在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。

M-交错路：p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。如：路径(X3,Y2,X1,Y4)，(Y1,X2,Y3)。

M-饱和点：对于v∈V(G)，如果v与M中的某条边关联，则称v是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。

M-可增广路：p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。如(X3,Y2,X1,Y4)。（不要和流网络中的增广路径弄混了）

求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。

增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

1－P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2－将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’。

3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

算法轮廓：

(1)置M为空

(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

时间空间复杂度

时间复杂度 邻接矩阵：最坏为O(n^3) 邻接表：O(mn)

空间复杂度 邻接矩阵：O(n^2) 邻接表：O(m+n)

样例程序

格式说明

输入格式:

第1行3个整数,V1,V2的节点数目n1,n2,G的边数m

第2-m+1行，每行两个整数t1,t2,代表V1中编号为t1的点和V2中编号为t2的点之间有边相连

输出格式:

1个整数ans,代表最大匹配数

邻接矩阵-C

#include <stdio.h>

#include <string.h>

int n1, n2, m, ans;

int result[101]; //记录V2中的点匹配的点的编号

bool state [101]; //记录V2中的每个点是否被搜索过

bool data[101][101];//邻接矩阵 true代表有边相连

void init()

{

int t1, t2;

memset(data, 0, sizeof(data));

memset(result, 0, sizeof(result));

ans = 0;

scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);

for (int i = 1; i <= m; i++)

{

scanf("%d%d", &t1, &t2);

data[t1][t2] = true;

}

return;

}

bool find(int a)

{

for (int i = 1; i <= n2; i++)

{

if (data[a][i] == 1 && !state[i]) //如果节点i与a相邻并且未被查找过

{

state[i] = true; //标记i为已查找过

if (result[i] == 0 //如果i未在前一个匹配M中

|| find(result[i])) //i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路

{

result[i] = a; //记录查找成功记录

return true; //返回查找成功

}

}

}

return false;

}

int main()

{

init();

for (int i = 1; i <= n1; i++)

{

memset(state, 0, sizeof(state)); //清空上次搜索时的标记

if (find(i)) ans++; //从节点i尝试扩展

}

printf("%d\", ans);

return 0;

}

邻接矩阵-Pascal

Program hungary;

Const

max = 100;

Var

data : array [1..max, 1..max] of boolean; {邻接矩阵}

result: array [1..max] of integer; {记录当前连接方式}

state : array [1..max] of boolean; {记录是否遍历过，防止死循环}

m, n1, n2, i, t1, t2, ans: integer;

Function dfs(p: integer): boolean;

var

i: integer;

begin

for i:=1 to n2 do

if data[p,i] and not(state[i]) then {有边存在 且 没有被搜索过}

begin

state[i] := true;

if (result[i] = 0) or dfs(result[i]) then {没有被连过 或 寻找到增广路}

begin

result[i] := p;

exit(true);

end;

end;

exit(false);

end;

begin

readln(n1, n2, m);

fillchar(data, sizeof(data), 0);

for i:=1 to m do

begin

readln(t1, t2);

data[t1, t2] := true;

end;

fillchar(result, sizeof(result), 0);

ans := 0;

for i:=1 to n1 do

begin

fillchar(state, sizeof(state), 0);

if dfs(i) then inc(ans);

end;

writeln(ans);

end.

邻接表-C++

#include <iostream>

#include <cstring>

using namespace std;

//定义链表

struct link

{

int data; //存放数据

link* next; //指向下一个节点

link(int=0);

};

link::link(int n)

{

data=n;

next=NULL;

}

int n1,n2,m,ans=0;

int result[101]; //记录n1中的点匹配的点的编号

bool state [101]; //记录n1中的每个点是否被搜索过

link *head [101]; //记录n2中的点的邻接节点

link *last [101]; //邻接表的终止位置记录

//判断能否找到从节点n开始的增广路

bool find(const int n)

{

link* t=head[n];

while (t!=NULL) //n仍有未查找的邻接节点时

{

if (!(state[t->data])) //如果邻接点t->data未被查找过

{

state[t->data]=true; //标记t->data为已经被找过

if ((result[t->data]==0) || //如果t->data不属于前一个匹配M

(find(result[t->data]))) //如果t->data匹配到的节点可以寻找到增广路

{

result[t->data]=n; //那么可以更新匹配M',其中n1中的点t->data匹配n

return true; //返回匹配成功的标志

}

}

t=t->next; //继续查找下一个n的邻接节点

}

return false;

}

int main()

{

int t1=0, t2=0;

cin>>n1>>n2>>m;

for (int i=0; i<m; i++)

{

cin>>t1>>t2;

if (last[t1]==NULL)

last[t1]=head[t1]

=new link(t2);

else

last[t1]=last[t1]->next

=new link(t2);

}

for (int i=1; i<=n1; i++)

{

memset(state, 0, sizeof(state));

if (find(i)) ans++;

}

cout<<ans<<endl;

return 0;

}

邻接矩阵-C++

#include<iostream>

#include<cstring>

using namespace std;

int map[105][105];

int visit[105],flag[105];

int n,m;

bool dfs(int a)

{

for(int i=1;i<=n;i++)

{

if(map[a][i] && !visit[i])

{

visit[i]=1;

if(flag[i]==0 || dfs(flag[i]))

{

flag[i]=a;

return true;

}

}

}

return false;

}

int main()

{

while(cin>>n>>m)

{

memset(map,0,sizeof(map));

for(int i=1;i<=m;i++)

{

int x,y;

cin>>x>>y;

map[x][y]=1;

}

memset(flag,0,sizeof(flag));

int result=0;

for(int i=1;i<=n;i++)

{

memset(visit,0,sizeof(visit));

if(dfs(i))

result++;

}

cout<<result<<endl;

}

return 0;

}