星形线的方程

星形线的性质

星形线的应用

星形线（Astroid）

星形线的方程

直角坐标方程：x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)

参数方程：x=a*(cost)^3,y=a*(sint)^3 （t为参数）

星形线的性质

最先对星形线进行研究是Johann Bernouli。星形线由于有四个尖端，所以有时也被称为四尖内摆线(tetracuspid)。星形线于1836年被正式定名，首次出现在正式出版的图书（出版于维也纳）中。星形线还有许多有趣的名称：cubocycloid和paracycle。

星形线的周长为6*a，它所包围的面积为3*PI*a^2/8. 它与x轴围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体体积为32*PI*a^3/105.

若星形线上某一点切线为T，则其斜率为tan(p)，其中p为极坐标中的参数。相应的切线方程为

T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 。

如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y（0,Y），则线段xy恒为常数，且为a。

星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。

在第一象限

星形线

也可由靠在Y轴上一个线段在重力作用下扫过的图形

(阴影里的另一个弧是圆的一部分以做对比)

星形线的应用

星形线与汽车门

我们知道，世界上有许多伟大的建筑，门的设计也是建筑家特别注意的。但是，最普通的门只有两种：完整一扇和对开的两扇。普通的房门是完整的一扇，一般的校门是对开的两扇，而公共汽车的门不但是对开的两扇，而且每一扇都由相同的两半用铰链铰接而成。开门关门时，以靠近门轴的半扇绕着门轴旋转，另半扇的外端沿着连接两个门轴的滑槽滑动，开门时一扇门折拢成为半扇，关门时又重新伸展成一扇。公共汽车的这个特殊门是根据星形线设计制造的。

星形线像夜空中光芒四射的星星，因此得名。在纸上任意作若干条长度为R的线段，使它们的两端分别在x轴和y轴上，然后在每一象限里画一段光滑的曲线弧，使它们与这些线段相切，这样一条星形线就画出来了。由画图过程可以看出，星形线是由一组直线包络构成的。

一扇折叠式的公共汽车车门可以表示成平面形式，其中O是门轴，OB为滑槽。在车门开闭过程中，定长BC的两端分别沿x轴和y轴滑动，因此可得到一条星形线，但由于车门只是在第一象限活动，所以一扇车门实际活动的过程如上图的形状，它是由圆弧MN和星形线弧NP构成。也就是说这扇车门活动的范围，由扇形OMN的面积、三角形ONQ的面积与星形线弧所组成的曲边三角形面积的和所组成。根据计算，它的总面积为 。而一扇宽度为2a的普通车门开关的过程形成一条以2a为半径的 圆弧，它的面积为 。因此一扇折叠式车门所占的地方只占普通车门的 ，大大节约了空间，使车辆能载更多的乘客。