定义：设 a ， b ， c 是空间中三个向量，则 (a×b)c 称为三个向量 a ， b ， c 的混合积，记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc).

设 a ， b ， c 为空间中三个向量，则 |(a×b)c| 的几何意义表示以 a ， b ， c 为棱的平行六面体的体积 .

因为 (a,b,c)=(a×b)c=|a×b||c|cos 〈 a ×b ， c 〉=

|ax ay az|

|bx by bz|

|cx cy cz|

向量的混合积可以用来计算四面体的体积V=1/6*abs([AB AC AD])

，从而混合积 (a,b,c) 的符号是正还是负取决于 ∠ (a×b ， c ) 是锐角还是钝角，即 a×b 与 c 是指向 a ， b 所在平面的同侧还是异侧，这相当于 a ， b ， c 三个向量依序构成右手系还是左手系 .

定理：三个向量 a ， b ， c 共面的充分必要条件是 (a,b,c)=0.

混合积的性质：

(1) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = - (b,a,c) = - (a,c,b) = - (c,b,a);

(2) a×bc=ab×c.

计算方法： A=(A1,A2,A3) B=(B1,B2,B3) C=(C1,C2,C3)

V=|A B C|=A1B2C3+A2B3C1+A3B1C2-C1B2A3-A2B1C3-A1B3C2

3×3行列式“\\”方向的数相乘相加减去“/”方向的数相乘相减。