希尔伯特变换简介(概念简介 命名来历)

定义(定义简介 频率响应)

希尔伯特变换简介

概念简介

在数学与信号处理的领域中，一个实值函数的希尔伯特变换(Hilbert transform)——在此标示为H——是将信号s(t)与1/(πt)做卷积，以得到s'(t)。因此，希尔伯特变换结果s'(t)可以被解读为输入是s（t）的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此系统的脉冲响应为1/(πt)。这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。）

命名来历

希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David )来命名。

定义

定义简介

希尔伯特变换定义如下：

其中

并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在τ=t以及τ=±∞等处的奇点。

另外要指出的是： 若，则可被定义，且属于；其中。

频率响应

希尔伯特变换之频率响应由傅立叶变换给出：

其中

F是傅立叶变换， i (有时写作j )是虚数单位，ω是角频率，以及

常被称作signum函数。

既然：

希尔伯特实际上是一个使相位滞后pi/2的全通移相网络。

我们也注意到：H^2(\\omega) = -1。因此将上面方程式乘上，可得到：

从中，可以看出反（逆）希尔伯特变换