| 词条 | 微分几何 |
| 释义 | 1 数学分支学科之一微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。 ◎ 历史沿革◎ 开始研究微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。 ◎ 发展十九世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 ◎ 后期应用随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。 ◎ 基本内容微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。 ◎ 实际应用近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。 ◎ 其它数学分支学科算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学、控制理论 ◎ 微分几何学应用微分学来研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面等图形性质的数学分支。差不多与微积分学同时起源于17世纪。单变量函数的几何形象是一条曲线，函数的导数就是曲线切线的斜率。函数的积分在几何上则可理解为一曲线下的面积等等。这种把微积分应用于曲线、曲面的研究，实质上就是微分几何学的开端。L.欧拉、G.蒙日、J.L.拉格朗日以及A.-L.柯西等数学家都曾为微分几何学的发展作出过重要贡献。与此同时，曲面内蕴几何等崭新的思想也在不断地产生并积累着。在此基础上，C.F.高斯奠定了曲面论基础，并使微分几何学成为一门新的数学分支。按F.克莱因变换群几何的分类方法来看，微分几何学应属于运动群，所以也称为运动几何学或初等微分几何学。 微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的。如：伪球面上的几何与非欧几何有密切关系；测地线和力学、变分学、拓扑学等有着深刻的联系，是内容丰富的研究课题。这方面有以J.阿达马、H.庞加莱等人为首的优异研究。极小曲面是和复变函数论、变分学、拓扑学关系极为深刻的研究领域，K.魏尔斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出过卓越贡献。 微分几何学的研究工具大部分是微积分学。力学、物理学、天文学以及技术和工业的日益增长的要求则是微分几何学发展的重要因素。尽管微分几何学主要研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面的局部性质，但它形成了现代微分几何学的基础则是毋庸置疑的。因为依赖于图形的直观性及由它进行类推的方法，即使在今天也未失其重要性。 2 陈维桓著图书书名:微分几何(普通高等教育十五国家级规划教材) ISBN:730110709 作者:陈维桓 出版社:北京大学出版社 定价:22 页数:436 出版日期:2006-6-1 版次:1 开本:32开 包装:平装 简介:本书是北京大学微分几何课程教材，并为普通高等教育“十五”国家级规划教材，其前身《微分几何初步》曾于1995年获教育部优秀教材一等奖。本书主要讲述三维欧氏空间中曲线和曲面的理论。全书共七章，内容包括：预备知识、曲线论、曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、曲面论基本定理、测地曲率和测地线，以及活动标架和外微分法。 本书的取材和体例仍同于《微分几何初步》，但在内容上吸取了近几年教学改革和教学实践的新鲜经验，作了较多的增改；并增添了一定数量的习题。附录也有增删，例如为便于读者自学，增加了用MATHEMATICA做的课件；书末并附有习题解答和提示，便于读者使用。 目录: 绪论 第一章 预备知识 §1.1 三维欧氏空间中的标架 §1.2 向量函数 第二章 曲线论 §2.1 正则参数曲线 习题2.1 §2.2 曲线的弧长 习题2.2 §2.3 曲线的曲率和Frenet标架. 习题2.3 §2.4 曲线的挠率和Frenet公式 习题2.4 §2.5 曲线论基本定理. 习题2.5 §2.6 曲线参数方程在一点的标准展开 习题2.6 §2.7 存在对应关系的曲线偶 习题2.7 §2.8 平面曲线 习题2.8 第三章 曲面的第一基本形式 §3.1 正则参数曲面. 习题3.1 §3.2 切平面和法线 习题3.2 §3.3 第一基本形式. 习题3.3 §3.4 益面上正交参数曲线网的存在性. 习题3，4. §3.5 保长对应和保角对应 习题3.5 §3.6 可展曲面 习题3.6 第四章 曲面的第二基本形式 §4.1第二基本形式 习题4.1 §4.2法曲率 习题4.2 §4.3 weingarten映射和主曲率. 习题4.3 §4.4主方向和主曲率的计算. 习题4.4 §4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 习题4.5 §4.6某些特殊曲面 习题4.6 第五章 曲面论基本定理 §5.1 自然标架的运动公式 习题5.1 §5.2 曲面的唯一性定理 习题5.2 §5.3 曲面论基本方程. 习题5.3 §5.4 曲面的存在性定理 习题5.4 §5.5 Gauss定理 习题5.5 第六章 测地曲率和测地线 §6.1 测地曲率和测地挠率 习题6.1 §6.2 测地线 习题6.2 §6.3 测地坐标系和法坐标系 习题6.3 §6.4 常曲率曲面 习题6.4 §6.5 曲面上切向量的平行移动 习题6.5 §6.6 Gauss.Bonnet公式 第七章活动标架和外微分法 §7.1外形式 习题7.1 §7.2外微分式和外微分 习题7.2 §7.3 E3中的标架族 习题7.3 §7.4曲面上的正交标架场 习题7.4 §7.5曲面上的曲线 习题7.5 §7.6应用举例 附录 §1 关于微分方程的几个定理. §2 自共轭线性变换的特征值 §3 用MATHEMATICA做的课件 习题解答和提示 参考文献 索引 |
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