外观数列

外观数列的求解

性质

外观数列

外观常数（Look-and-say sequence），是指以下特点的整数序列：

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ……

它以数字1开始，序列的第n+1项是对第n项的描述。比如第2项是2个1，所以下一项（第三项）就是21。又比如第5项是111221，描述就是3个1，2个2，1个1， 所以下一项就是312211。

外观数列的求解

外观序列（Look-and-say sequence）的python语言求解：

def look_and_say(member):

while True:

yield member

breakpoints = ([0] + [i for i in range(1, len(member))

if member[i - 1] != member[i]]

+ [len(member)])

groups = [member[breakpoints[i - 1]:breakpoints[i]]

for i in range(1, len(breakpoints))]

member = ''.join(str(len(group)) + group[0] for group in groups)

sequence = look_and_say("1")

for i in range(31):

seq = sequence.next()

print i, seq[:8], len(seq)

性质

外观序列有许多有意思的性质，比如序列中的第n项L[n]随着n越来越长，但是除数字1,2,3，其他数字永远不会出现。另一个有意思的性质是由英国数学家Conway于1987年发现的。即相邻两数的比值L[n]/L[n-1],随着n的增大越来越接近一个固定的数。当n趋于无穷大时，相邻两数的比值为一个常数。Conway将这个数记为希腊字母λ（lim_{n->∞} L[n]/L[n-1] = λ），λ ≈1.303577。并且该数还是下面这个71次方程的唯一实数解。

x^71 - x^69 - 2*x^68 - x^67 + 2*x^66 + 2*x^65 + x^64 - x^63 - x^62 - x^61 - x^60 - x^59 + 2*x^58 + 5*x^57 + 3*x^56 - 2*x^55 - 10*x^54 - 3*x^53 - 2*x^52 + 6*x^51 + 6*x^50 + x^49 + 9*x^48 - 3*x^47 - 7*x^46 - 8*x^45 - 8*x^44 + 10*x^43 + 6*x^42 + 8*x^41 - 5*x^40 - 12*x^39 + 7*x^38 - 7*x^37 + 7*x^36 + x^35 - 3*x^34 + 10*x^33 + x^32 - 6*x^31 - 2*x^30 - 10*x^29 - 3*x^28 + 2*x^27 + 9*x^26 - 3*x^25 + 14*x^24 - 8*x^23 - 7*x^21 + 9*x^20 + 3*x^19 - 4*x^18 - 10*x^17 - 7*x^16 + 12*x^15 + 7*x^14 + 2*x^13 - 12*x^12 - 4*x^11 - 2*x^10 + 5*x^9 + x^7 - 7*x^6 + 7*x^5 - 4*x^4 + 12*x^3 - 6*x^2 + 3*x - 6 = 0