对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若<u，v> ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

拓扑排序(Topological Sort)(什么是拓扑序列 举例 实现的基本方法)

在计算机语言中的应用(拓扑序列 Pascal代码： 拓扑序列 C++核心代码 延伸 拓扑学)

拓扑排序(Topological Sort)

什么是拓扑序列

通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。离散数学中关于偏序和全序的定义：

若集合X上的关系是R是自反的、反对称的和传递的，则称R是集合X上的偏序关系。

设R是集合X上的偏序（Partial Order）,如果对每个x,y属于X必有xRy 或 yRx，则称R是集合X上的全序关系。

注意：

①若将图中顶点按拓扑次序排成一行，则图中所有的有向边均是从左指向右的。

②若图中存在有向环，则不可能使顶点满足拓扑次序。

③一个DAG的拓扑序列通常表示某种方案切实可行。

举例

【例】对如上学生选课工程图进行拓扑排序, 得到的拓扑有序序列为

C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C8 , C9 , C7

或 C1 , C8 , C9 , C2 , C5 , C3 , C4 , C7 , C6

【例】一本书的作者将书本中的各章节学习作为顶点，各章节的先学后修关系作为边，构成一个有向图。按有向图的拓扑次序安排章节，才能保证读者在学习某章节时，其预备知识已在前面的章节里介绍过。

④一个DAG可能有多个拓扑序列。

实现的基本方法

拓扑排序方法如下:

(1)从有向图中选择一个没有前驱(即入度为0)的顶点并且输出它.

(2)从网中删去该顶点,并且删去从该顶点发出的全部有向边.

(3)重复上述两步,直到剩余的网中不再存在没有前趋的顶点为止.

在计算机语言中的应用

拓扑序列 Pascal代码：

program TopSort;

var

map,link:array [1..100,1..100] of integer;

v,pnt:array [1..100] of integer;

n,m,a,b,i,j,k:integer;

begin

fillchar(map,sizeof(map),0);

fillchar(link,sizeof(link),0);

fillchar(v,sizeof(v),0);

readln(n,m);

for i:=1 to m do

begin

readln(a,b);

map[a,b]:=1;

v[b]:=v[b]+1;

end;

i:=0;

link:=map;

while (i<n) do

begin

j:=1;

while (v[j]<>0) do inc(j);

v[j]:=-1;

for k:=1 to n do

if link[j,k]=1 then begin dec(v[k]);link[j,k]:=0; end;

inc(i);

pnt[i]:=j;

end;

for i:=1 to n do

writeln(pnt[i]);

end.

拓扑序列 C++核心代码

bool TopologicalSort(int a[][101]) //可以完成拓扑排序则返回True

{

int n = a[0][0], i, j;

int into[101], ans[101];

memset(into, 0, sizeof(into));

memset(ans, 0, sizeof(ans));

for (i = 1; i <= n; i++)

{

for (j = 1; j <= n; j++)

{

if (a[i][j] > 0)

into[j]++;

}

}

into[0] = 1;

for (i = 1; i <= n; i++)

{

j = 0;

while (into[j] != 0)

{

j++;

if (j > n)

return false;

}

ans[i] = j;

into[j] = -1;

for (int k = 1; k <= n; k++)

{

if (a[j][k] > 0)

into[k]--;

}

}

for (i = 1; i <= n; i++)

{

cout << ans[i] << " ";

}

cout << endl;

return true;

}

延伸 拓扑学

拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογία的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。