双周期的亚纯函数。它最初是从求椭圆弧长时引导出来的，所以称为椭圆函数。椭圆函数论可以说是复变函数论在19世纪发展中最光辉的成就之一。

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椭圆函数是定义在有限复平面上亚纯的双周期函数。它和椭圆曲线存在密切关系。所谓双周期函数是指具有两个基本周期的单复变函数 ，即存在ω1，ω2两个非0复数，而对任意整数n，m，有

f（z+nω1+mω2）=f（z） ，

于是{nω1+mω2|n，m为整数}构成f（z）的全部周期。

在复平面上任取一点a，以a，a+ω1，a+ω1+ω2 ，a+ω2为顶点的平行四边行的内部 ，再加上两个相邻的边及其交点 ，这样构成的一个半开的区域称为

f（z）的一个基本周期平行四边形，将它平行移动nω1+mω2，当n，m取遍所有整数时，即得一覆盖整个复平面的周期平行四边形网，f（z） 在每一个周期平行四边形中的性质都和它在基本周期平行四边形中的一样。

如果复平面上两个点在平移到同一个基本周期四边形后重合，我们就把它们粘合成一个点， 经过这样一系列操作之后，我们就得到复平面粘合后的一个商空间， 即著名的椭圆曲线， 它也是一个亏格1的紧的闭曲面。 于是上面的椭圆函数就直接定义在椭圆曲线上。

在基本周期平行四边形中，f（z）有以下性质：非常数椭圆函数一定有极点，且极点留数之和必为零 ，因而不可能只有一个一阶极点 ，有n个极点的椭圆函数称为n阶椭圆函数 ，它在基本周期平行四边形内取任一值n次，即对任意复数A，f（z）－A在基本周期平行四边形内有且仅有n个零点 ，且f（z） 的零点之和与极点之和的差必等于一个周期。

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在以上性质的规范下 ，有两大类重要的椭圆函数 ：

①魏尔斯特拉斯-δ函数 。它表作

f(z)=∑`1/(z-ω)^2，

其中ω=2nω1+2mω2，∑`表n，m取遍全部整数之和 ，但要除去ω=0的情形 。这是一个二阶椭圆函数 ，在周期平行四边形中 ，仅有一个ω是二阶极点 ，ω=δ（z）满足微分方程（ω′）2=4ω3－g2ω－g3，其中g2=60Σ'Image:椭圆函数3.jpgg3=140Σ'Image:椭圆函数4.jpg，由此可见ω=δ（z）是Image:椭圆函数5.jpg的反函数，右边的积分称为椭圆积分。

可以证明，所有的椭圆函数都可以用δ（z）函数来表示 ，而每一个椭圆函数都一定满足一个常系数一阶的代数微分方程。

②雅可比椭圆函数。它定义为椭圆积分的反函数 ，记作ω=J（z），J（z）的基本周期平行四边形是一个矩形 ，其基本周期是4K与2iK′ ，此处Image:椭圆函数7.jpg,Image:椭圆函数8.jpg,其二阶极点为iK′，而k是一个实常数。