定理的提出

定理内容

四边形的余弦定理的证明.

定理的提出

四边形的余弦定理是由 布瑞须赖德尔(Bretschnelder,1808-1878)发现的。

由四边形的余弦定理，立即得到托勒密不等式: a*c+b*d≥m*n

定理内容

四边形的余弦定理：:

设四边形ABCD的边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，对角线为m,n。

则

(m·n)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd·cos(A+C) ①

四边形的余弦定理的证明.

证明：

在AB,AD边上向外作△AKB∽△CDA, △ADM∽△CAB, 则有

AK=ac/m,AM= bd/m,KB=DM=ad/m。

因为 ∠KBD+∠MDB=∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠CAB=180°

所以KB∥DM，四边形KBDM是平行四边形，KM=BD=n。

在△AKM中，由余弦定理得:

n^2=(ac/m)^2+(bd/m)^2-2(ac/m)×(bd/m)×cos(A+C) ②

对式②进行变形：

n^2=[ac^2×（1/m）^2]+[bd^2×（1/m）^2]-2[ac×（1/m）]×[bd×（1/m）]×cos（A+C）

两边同时乘以 m^2：

n^2×m^2=[（ac）^2×（1/m）^2]×m^2+[（bd）^2×（1/m）^2]×m^2-2[ac×（1/m）]×[bd×（1/m）]×cos（A+C）×m^2

(mn)^2=（ac）^2+（bd）^2-2·ac·bd·cos（A+C）

(mn)^2=（ac）^2+（bd）^2-2abcd·cos（A+C）

上式即为式①，即证。