1)根指的是方程的解

实数根就是指方程式的解为实数

实数根也经常被叫为实根.

2)实数包括正数，负数和0

负数包括：负整数和负分数，虚数

实数包括：有理数和无理数

有理数包括：整数和分数

无理数包括：正无理数、负无理数

整数包括：正整数、0、负整数

分数包括：正分数、负分数

分数的第二种分类方法：包括有限小数、无限循环小数

3）有理数：整数和分数统称为有理数。

无理数：无限不循环小数叫做无理数，具体表示方法为√2、√3。

有关定理

定理1 [1 ] n 次多项式f ( x ) 至多有n 个不同的根.

定理2 (笛卡尔符号律) [2 ] 　多项式函数f ( x ) 的正实根个数等于f ( x ) 的非零系数的符号变化个

数,或者等于比该变化个数小一个偶数的数; f ( x ) 的负实根个数等于f ( - x) 的非零系数的符号变化个

数,或者等于比该变化个数小一个偶数的数.

定理3 [1 ] 　数c 是f ( x ) 的根的充分必要条件是f ( x ) 能被x - c 整除.

定理4 [1 ] 　每个次数大于0 的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积.

定理5 [1 ] 　设(1 ) 式中Pi = 0 ,1 ,*,n , ai ∈ ,即f ( x ) 是整系数多项式,若an ≠0 ,且有理数u/ v

是f ( x ) 的一个根, u ∈ , v ∈ * ,( u , v) = 1 ,那么:

(i ) v | a0 , u | an ;

(ii) f ( x ) / ( x - u/ v) 是一个整系数多项式.

定理6 (根的上下界定理) [2 ] 　设(1 ) 式中a0 > 0 ,

1 ) 　若存在正实数M ,当用x - M 去对f ( x ) 作综合除法时第三行数字仅出现正数或0 ,那么M 就

是f ( x ) 的根的一个上界;

2 ) 若存在不大于0 的实数m ,当用x - m 去对f ( x ) 作综合除法时第三行数字交替地出现正数(或

0 ) 和负数(或0 ) 时,那么m 就是f ( x ) 的根的一个下界.

定理7 (判断根上下界的牛顿法) [3 ] 　设有实数k ,使f ( k) , f ′(k) , *,f (m) ( k) , *f (n) ( k) 均为非负

数,或均为非正数,则方程f ( x ) = 0 的实根都小于k. 这里f (m) ( x ) 表示f ( x ) 的m 阶导数.

定理8 (判断根上下界的拉格朗日法) [3 ] 　设(1 ) 式中a0 > 0 ,且ak 为第一个负系数,即ak < 0 ,且Pi < k , ai ≥0 , 设b 是负系数中的最大绝对值,则f ( x ) = 0 的正根上限为1 +

k

b/ a0 .

定理9 [1 ] 　多项式f ( x ) 无重根的充分且必要条件是f ( x ) 与它的导数f ′( x ) 互素.

定理10 (Sturm 定理) [3 ] 　设多项式f ( x ) 无重根,b1 < b2 , f (b1 ) f (b2 ) ≠0 , f ( x ) = 0 在开区间

(b1 ,b2 ) 中有p 个根,U (b1 ) 与U (b2 ) 分别为f ( x ) 的斯图姆(St urm) 序列

f 0 (b1 ) , f 1 (b1 ) , *,f s (b1 ) , *,f m (b1 )

与f 0 (b2 ) , f 1 (b2 ) , *,f s (b2 ) , *,f m (b2 )

的变号的个数,则p = U (b1 ) - U (b2 ) .

定理11 [3 ] 　设f ( x ) 为实系数多项式,D ( f ) 为f ( x ) 的根的判别式,则当D ( f ) = 0 时,方程f ( x )

= 0 有重根;当D ( f ) < 0 时,方程f ( x ) = 0 无重根,且有奇数对虚根;当D ( f ) > 0 时方程f ( x ) = 0 无

重根,且有偶数对虚根.

对(1 ) 式中的f ( x ) , D ( f ) 定义为:

D( f ) = (- 1 ) n(n - 1 )/ 2 a- 1

0 R ( f , f ′) ,

其中f′为f ( x ) 的导函数, R ( f , f ′) 称为f 和f ′的结式,是由f ( x ) 的各项系数确定的一个2 n - 1 阶方

阵R 的行列式. 如果当k > n 或k < 0 时记ak = 0 , 则R 的第i 行第j 列的元素为

rij =

aj - i , 　当1 ≤i ≤n - 1 ;

(i - j + 1 )aj+n- i- 1 , 　当n ≤i ≤2 n - 1 时