十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。

概念

通俗方法(方法 例)

例题解析(例1 例2 例3 例4 例5)

解决两者之间的比例问题(原理 使用时的注意事项 例题)

十字相乘法解一元二次方程(例1 例2 例3 例4)

概念

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2），在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.

以a^2+2a-15=(a+5）(a-3）.

通俗方法

方法

先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写

1 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

......

依此类推

直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为（ax+b)(cx+d)

例

：（^2代表平方）

a^2x^2+ax-42

首先，我们看看第一个数，是a↑2，代表是两个a相乘得到的，则推断出（a ×+？）×（a ×+？）

然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出使两项式×两项式。

再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2

首先，21和2无论正负，合并后都不可能是1 只可能是-19或者19，所以排除后者。

然后，在确定是-7×6还是7×-6.

（a×+(-7））×（a×+6）=a^2-a-42（计算过程省略）

得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a

再算：

（a×+7）×（a×+(-6））=a^2+a-42

正确，所以a^2x^2+ax-42就被分解成为（ax+7）×（ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式.

例题解析

例1

把2x^2-7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1=5 ≠-7

1 3

╳

2 1

1×1+2×3=7 ≠-7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.

解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)

一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

a1c2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.

例2

把6x^2-7x-5分解因式.

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

╳

3 -5

2×(-5)+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1 -3

╳

1 5

1×5+1×(-3)=2

所以x+2x-15=(x-3)(x+5).

例3

把5x^2+6xy-8y^2分解因式.

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

╳

5 -4

1×(-4)+5×2=6

解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4

把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.

问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.

解 (x-y)(2x-2y-3)-2

=(x-y)[2(x-y)-3]-2

=2(x-y) ^2-3(x-y)-2

1 -2

╳

2 1

1×1+2×（-2）=－3

=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

=(x-y-2)(2x-2y+1).

指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

例5

x^2+2x-15

分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3）

(-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。

=(x-3）(x+5）

总结：①x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么

kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)

a b

╳

c d

教学重点和难点

重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；

难点：灵活运用十字相乘法分解因式.

解决两者之间的比例问题

原理

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。

则：[A*M+B*（S－M）]/S=C

A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C

M/S=(C-B)/(A-B)

1-M/S=(A-C)/(A-B)

因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C)

上面的计算过程可以抽象为：

A ………C-B

……C

B……… A-C

这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰

使用时的注意事项

第一点：用来解决两者之间的比例问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。

例题

某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？

十字相乘法

解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。

本科生：-2%………8%

…………………2%

研究生：10%……… -4%

本科生∶研究生=8%∶（-4%)=-2∶1。

去年的本科生：7500×2/3=5000

今年的本科生：5000×0.98=4900

答：这所高校今年毕业的本科生有4900人。

鸡兔同笼问题

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

十字相乘法

解：假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有140只脚

鸡：70……… …46

……………………94

兔：140……… …24

鸡：兔=46：24=23：12

答：鸡有23只，兔有12只。

十字相乘法解一元二次方程

例1

把2x^2-7x+3分解因式.

分析：先 分解二次项系数，

分别写在十字交叉线的左上角和左下角，

再分解常数项，

分别写在十字交叉线的右上角和右下角，

然后交叉相乘，

求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数（只取正因数）：

2=1×2=2×1；

分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3）×（-1）=(-1）×（-3）.

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1=5

1 3

╳

2 1

1×1+2×3=7

1 -1

╳

2 -3

1×（-3）+2×（-1） =-5

1 -3

╳

2 -1

1×（-1）+2×（-3） =-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解 2x^2-7x+3=(x-3）（2x-1）.

一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0），

如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，

即a=a1a2，

常数项c可以分解成两个因数之积，

即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，

排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

a1c2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，

若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，

即a1c2+a2c1=b，

那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，

即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.

例2

把6x^2-7x-5分解因式.

分析：按照例1的方法，

分解二次项系数6及常数项-5，

把它们分别排列，

可有8种不同的排列方法，

其中的一种 21╳3-5 2×（-5）+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

解 6x^2-7x-5=（2x+1）（3x-5）

指出：通过例1和例2可以看到，

运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，

往往要经过多次观察，

才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，

也可以用十字相乘法分解因式，

这时只需考虑如何把常数项分解因数.

例如把x^2+2x-15分解因式，

十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×（-3）=2

所以x^2+2x-15=(x-3）(x+5）.

例3

把5x^2+6xy-8y^2分解因式.

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，

把-8y^2看作常数项，

在分解二次项及常数项系数时，

只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，

经过观察，选取合适的一组，

即 12╳ 5-4 1×（-4）+5×2=6

解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)（5x-4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4

把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，

只有先进行多项式的乘法运算，

把变形后的多项式再因式分解.

问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.

解 (x-y)（2x-2y-3）-2

=(x-y)[2(x-y)-3]-2

=2(x-y) ^2-3(x-y)-2

1-2╳ 21

1×1+2×（-2）=－3

=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

=(x-y-2）（2x-2y+1）.

指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，

这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x^2+2x-15

分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，

可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3） (-5）或（-3）（5），

其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。 =(x-3）(x+5）

总结：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；

常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，

那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d

（1） (x+3）(x-6）=-8 （2） 2x^2+3x=0

（3） 6x^2+5x-50=0 （4）x^2-2( + )x+4=0

（1）解：（x+3）(x-6）=-8 化简整理得

x^2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零）

(x-5）(x+2）=0 （方程左边分解因式）

∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

（2）解：2x^2+3x=0

x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式）

∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）

∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

（3）解：6x^2+5x-50=0

（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。

（4）解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）

(x-2）(x-2 )=0

∴x1=2,x2=2是原方程的解。

例题x^2-x-2=0

解：（x+1）(x-2）=0

∴x+1=0或x-2=0

∴x1=-1,x2=2

（附：^是数学符号）