数学常与“最优”概念联在一起，因而“最节省”、“最有效”、……成了数学的一个重要课题。英国数学游戏大师杜登尼（H．E．Dudeney，1857～1930）曾给出这样一个问题：

一根23cm长的尺子，要求能够度量出1~23任何整数厘米长的物品，至少要几个刻度？我给出的答案是：只须6个刻度。（头尾不用刻）这种尺被称作“省刻度尺”，如下图：

0 1 4 10 16 18 21 23

其实这个答案不是惟一的，还有另一种解答也是6个刻度：

至于它的量法，我们用a→b表示自a量到b，比如3→8表示可量得5，8→18表示可量得10，等等。同时我们也称能量得1～22整数厘米刻度的度量为“完整度量”。请你按照要求给出下面4个能够完整度量的省刻度尺：

⑴13cm4个刻度（如下）：

0 1 4 5 11 13

⑵36cm8个刻度（如下）：

0 1 3 6 13 20 27 31 35 36

⑶40cm9个刻度（如下）：

0 1 2 3 4 10 17 24 29 35 40

考虑一下你给出的这些结果（刻度数）还能否改进？再请你讨论：

⑴ncm长的尺子至少要有多少个刻度才能完成1～ncm的完整度量？

⑵有k个刻度的尺子至多能在多大的n范围内完成1～ncm的完整度量？

此外，省刻度尺问题还与图形完美标号问题有关。所谓完美标号是指将0～k这k+1个数字中的某些数填在一些图形的结点处，再将相邻两结点的差的绝对值记在连接两结点的线段上，若这些差的绝对值恰好为1～k，则称该图是完美的，且称标号为完美标号。比如右图便是一个完美标号图。

1978年胡迪（C．Hodee）和库珀尔（H．Kuiper）曾证明：所有星轮状的图形皆存

若将“刻度”视为“标号”，“度量”看作“标号之差的绝对值”，则省刻度尺可与完美标号问题“对应”起来（数学上叫同构），比如前面的省刻度尺问题(1)，即：13cm尺子4个刻度（注意刻度0与13虽未标出，但它却是客观存在的），可与右图对应：

如此一来，这两个问题只须研究其一，便可在另一问题中得出同样的结果。如果你有兴趣，不妨将另外两个省刻度尺对应的完美标图也画出来。千万不要只把这看作一种游戏，目前，省刻度尺（库珀尔尺)问题在物理、电子等领域已找到广泛的应用。