简介

附注

举例

简介

[商集]

R是A上的[等价关系]，由关于R的所有不同的[等价类]作为元素组成的集合称为A关于R的[商集]，记作A/R

本质上说，集合A关于等价关系R的商集A/R是A上的一个[划分]，等价类就是[块]。即商集A/R中，全部元素相并就等于集合A，任意两个元素相交都为空集。

S={A1,A2,..An}

A1并A2并...并An=A 且 Ai交Aj={} (i><j;i,j=1,2...n)

==>S是A的一个划分，Ai是A的子集，也是划分S的块。

[定理] A上的一个划分S能唯一确定一个等价关系R

这个划分S就是A关于R的商集A/R，S=A/R

aRb 当且仅当a,b在同一分块中, R是一个等价关系

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附注

附：

·[二元关系]

设A,B是集合，R是笛卡儿乘积AxB的子集，则称R是A到B的一个二元关系，例如A={x,y},B={a,b},R={(x,a),(x,b),(y,b)}

·[自反的二元关系]

如果对于集合A的每一个元素a都有(a,a)属于二元关系R，则称R为自反的二元关系

·[对称的二元关系]

如果每当(a,b)属于R，就一定有(b,a)属于R，则称R是对称的二元关系

·[传递的二元关系]

如果每当有(a,b),(b,c)属于R，必有(a,c)属于R，则称传递的二元关系

·[等价关系]

R是A上的[二元关系]，如果R是自反的、对称的、传递的二元关系，则称R为A上的[等价关系]。

·[等价类]

设R是A的等价关系，a是A中的任意元素，由A中的所有与a相关的元素组成的集合，称为a关于R的等价类，记作[a]R

举例

·例如：

A={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；

R是A上的同乡关系[不难证明同乡关系是等价关系]，

若a,b是北京人，c是广东人，d,e,f南京人，

则R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}

A中各元素关于R的等价类分别是：

[a]R=R={a,b}

[c]R={c}

[d]R=[e]R=[f]R={d,e,f}

A关于R的商集A/R={[a]R,[c]R,{d}R}={{a,b},{c},{d,e,f}}

参考资料：离散数学