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词条 三棱锥
释义

定义

几何体,锥体的一种,由四个三角形组成,亦称为四面体。

底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥

称作正三棱锥;而由四个全等的正三角形组成的四面体称为正四面体。三棱锥有六条棱长。一般来说,三棱锥固定底面时有一个顶点,不固定底面时有四个顶点。(正三棱锥不等同于正四面体,正四面体必须每个面都是正三角

形)

举例

弓箭头、三棱刮刀、 其实所有长方体的物体切下的的角都是三棱锥

相关计算

h为底高(法线长度),A为底面面积,V为体积,L为斜高,C为棱锥底面周长有:

三棱锥棱锥的侧面展开图是由4个三角形组成的,展开图的面积,就是棱锥的侧面积,则 :(其中Si,i= 1,2为第i个侧面的面积)

S全=S棱锥侧+S底

S正三棱锥=1/2CL+S底

V=1/3A(底面积)*h

三棱锥体积公式证明:

如图,这是一个一般的三棱柱ABC-A'B'C',它的体积可以分为三个等体积的三棱锥,即三棱锥C-A'AB,三棱锥C-A'B'B,三棱锥A'-CB'C'.

因为三棱柱的侧面A'ABB'是平行四边形,所以△A'AB的面积=△A'BB'的面积,即其中三棱锥C-A'AB与三棱锥C-A'B'B的底面积相等,它们两个的顶点都是C,即C到它们底面的距离都相等,所以三棱锥C-A'AB与三棱锥C-A'B'B的体积相等。而三棱锥C-A'B'B也可以看作是三棱锥A'-BCB',且三棱锥A'-CB'C'与三棱锥A'-BCB'的底面积相等(即△BCB'与△B'C'C的面积相等),且它们两个的顶点都是A',即A'到它们底面的距离都相等,所以三棱锥A'-CB'C'与三棱锥A'-BCB'的体积也相等,故三棱锥C-A'AB,三棱锥C-A'B'B,三棱锥A'-CB'C'的体积都相等,由此可见,一个三棱柱的体积等于三个等体积的三棱锥体积之和,即V三棱锥=1/3S·h.

内切球心

内切球心在顶点与底面重心的连线的距底面1/4处

相关计算:因为正三棱锥底面为正三角形,所以高线位于任意顶点与底边中点连线,又三线合一,所以重心位于高线距顶点2/3处,即可算出顶点与重心的距离,又知正三棱锥边长,即可根据勾股定理算出圆心所在直线(即顶点与底面重心的连线)的长度,即可算出底面与球心的距离(即内切球半径)。

外接球心

外接球心在顶点与底面重心的连线的距顶点3/4处

相关计算:因为正三棱锥底面为正三角形,所以高线位于任意顶点与底边中点连线,又三线合一,所以重心位于高线距顶点2/3处,即可算出顶点与重心的距离,又知正三棱锥边长,即可根据勾股定理算出圆心所在直线(即顶点与底面重心的连线)的长度,即可算出顶点与球心的距离(即外接球半径)。

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更新时间:2025/3/20 10:18:46