有界集

确界原理(推广的确界原理)

确界原理 supremum and infimum principle 刻画实数连续性的命题之一。

有界集

有界集定义

定义一：设S为R的一个数集。若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。例题：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于零1的实数都是N+的下界，故N+为有下界的数集。

现在要证N无上界，按照定义，只需证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数n0（∈N+），使得n0>M。事实上，对于任何一个正数M（不论这个数是多么的大），总存在一个数N=[M]+1([X]表示不超过X的最大整数)，使得N>M.这就证明了N+无上界。

确界的定义

文字描述：若数集S有上界，显然S有无穷多个上界（因为任何大于有界集S最大的数都是S的上界），其中最小的一个我们将它称为S的上确界（用sup S表示）。同样的有，有下界数集S的最大下界称为该数集的下确界（用inf S表示）。（sup为拉丁文supermun的简写，inf为拉丁文infimun的简写）。

上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η满足

（i）对一切x∈S，有η≥S，即η是S的上界；

（ii）对任何的a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界，则称η为数集s的上确界；

下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ满足：

（i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；

（i）对任何的β>ξ,存在x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界，则称ξ为数集的S的下确界；

确界原理

确界原理

常叙述为：任一有上界的非空实数集必有上确界(为实数)；同样任一有下界的非空实数集必有下确界(为实数)。实数的这个性质是波尔查诺(Bolzano,B.)于1817年发现的。在扩张的实数系R中，认为没有上(下)界的非空实数集的上(下)确界为+∞(-∞)。这样，在R中任何非空集都有上、下确界。

推广的确界原理

若把+∞和-∞补充到数集当中，并规定任意一实数a与+∞，-∞的关系为-∞<a<+∞,则确界的概念可扩充为：若数集S无上界，则规定+∞为S的非正常上确界，记做sup S=+∞；若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记做inf S=-∞，相应的，若S有上确界或者下确界，则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。

即： 任意一非空数集必有上确界和下确界（包括正常的和非正常的）。