曲线与方程

求曲线的方程

什么是曲线

方程的一些概念

曲线与方程

在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

求曲线的方程

1 直接法

步骤

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件的p（M）的集合P={M|p(M)}；

（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0；

（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明。另外，也可以根据情况省略（2），直接列出曲线方程。 2 定义法

（1）如果能够确定动点的轨迹满足某一直曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出方程。

（2）如果动点的轨迹与圆锥曲线有关，则可运用圆锥曲线定义求出动点的轨迹方程。

3 相关点代入法

如果所求轨迹中的动点，随着另一动点的运动而运动，而另一动点有在某跳一支曲线上，常设法利用轨迹中的动点坐标（x,y)，表示已知曲线上动点的坐标（x1,y1)，再将它代入已知曲线的方程即可。

4参数法

如果很难找出动点坐标满足的关系，可借助中间变量——参数，建立起动点坐标x，y之间的联系，然后消去参数得到曲线方程。

步骤一般为

引入参数——建立参数方程——消去参数，得到等价的普通方程。

什么是曲线

按照经典的定义，从(a,b)到R3中的连续映射就是一条曲线，这相当于是说：

(1.)R3中的曲线是一个一维空间的连续像，因此是一维的 .

(2.)R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到 .

(3.)说参数的某个值，就是说曲线上的一个点，但是反过来不一定，因为我们可以考虑自交的曲线。

微分几何就是利用微积分来研究几何的学科，为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。

正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。

曲线：任何一根连续的线条都称为曲线，包括直线、折线、线段、圆弧等。

曲线是1-2维的图形，参考《分数维空间》。

处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。

1定义：含有未知数的等式叫方程。

等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。

用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则：

(1)a+c=b+c

(2)a-c=b-c

等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。

(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）。

(4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。

方程的一些概念

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

解方程的依据：1.移项； 2.等式的基本性质； 3.合并同类项； 4. 加减乘除各部分间的关系。

解方程的步骤：1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果

例如： 3x=5*6

3x=30

x=30/3

x=10

移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。

方程有整式方程和分式方程。

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。