清宫定理

设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上

证明

设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F

这时，P、Q两点和D、F、E、三点有如下关系：

将三角形的三边或者其延长线作为镜面，则从P点出发的光线照到D点经过BC反射以后通过Q点，从P点出发的光线照到E点经AC的延长线反射后通过Q点，从P点出发的光线照到F点后通过Q点

从而，如果P、Q两点重合，则D、E、F三点成为从P（即Q）点向BC，CA，AB或者它们的延长线所引的垂线的垂足。于是，如果P、Q两点重合，清宫定理就成为西摩松定理。

我们决定将证明清宫定理的方针确定如下：因为D、E、F三点中，有两点在△ABC的边上，其余一点在边的延长线上，

如证明

（BD/DC）·（CE/EA）·（AF/FB）=1，

则根据梅涅劳斯定理的逆定理，就可证明DEF三点在同一直线上。

首先，A、B、P、C四点在同一圆周上，因此

∠PCE=∠ABP

但是，点P和V关于CA对称

所以∠PCV=2∠PCE

又因为P和Ｗ关于AB对称，所以

∠PBW=2∠ABP

从这三个式子，有

∠PCV=∠PBW

另一方面，因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角，所以

∠PCQ=∠PBQ

两式相加，有

∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ

即∠QCV=∠QBW

即△QCV和△QBW有一个顶角相等，因此

S（△QCV）/S（△QBW）=（CV·CQ）/（BW·BQ）

但是CV=CP，BW=BP，所以

S（△QCV）/S（△QBW）=（CP·CQ）/（BP·BQ）

同理S（△QAW）/Ｓ（△QCU）=（AP·AQ）/（CP·CQ）

S（△QBU）/S（△QAV）=（BP·BQ）/（AP·AQ）

于是

（BD/DC）·（CE/EA）·（AF/FB）

=[S（△QBU）/S（△QCU）]·[S（△QCV）/S（△QAV）]·[S（△QAW）/S（△QBW）]

=[S（△QBU）/S（△QAV）]·[S（△QCV）/S（△QBW）]·[S（△QAW）/S（△QCU）]

=[（BP·BQ)/（AP·AQ）]·[（CP·CQ)/（BP·BQ）]·

[（AP·AQ)/（CP·CQ）]

=1

根据梅涅劳斯定理的逆定理，D、E、F三点在同一直线上