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词条 切比雪夫总和不等式
释义

数学上的切比雪夫总和不等式,或切比雪夫不等式,以切比雪夫命名。它可以比较两组数积的和及两组数的线性和的积的大小:

若a1≥a2≥a3≥······≥an

和b1≥b2≥b3≥······≥bn,

则有n*(a1*b1+a2*b2+····+an*bn)≥(a1+a2+···+an)*(b1+b2+····+bn)≥n*(a1*bn+a2*bn-1+····+an*b1)。

上式也可以写作(a1*b1+a2*b2+····+an*bn)/n≥[(a1+a2+···+an)/n]*[(b1+b2+····+bn)/n]≥(a1*bn+a2*bn-1+····+an*b1)/n 。

它是由排序不等式而来。

证明

设有a1≥a2≥a3≥······≥an

且b1≥b2≥b3≥······≥bn

由排序不等式可知,最大的和为顺序和:a1*b1+a2*b2+····+an*bn

于是有:

a1*b1+a2*b2+····+an*bn=a1*b1+a2*b2+····+an*bn

a1*b1+a2*b2+····+an*bn≥a1*b2+a2*b3+····+an*b1

a1*b1+a2*b2+····+an*bn≥a1*b3+a2*b4+····+an*b2

…………

a1*b1+a2*b2+····+an*bn≥a1*bn+a2*b1+····+an*bn-1

将这 n 个不等式分边相加,同时对右边进行因式分解,便得到:n*(a1*b1+a2*b2+····+an*bn)≥(a1+a2+···+an)*(b1+b2+····+bn)

两边都除以n,就得到切比雪夫不等式的第一个不等号:(a1*b1+a2*b2+····+an*bn)/n≥[(a1+a2+···+an)/n]*[(b1+b2+····+bn)/n]

同理,右边的不等号可由最小的和为逆序和推得。

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更新时间:2024/12/23 20:44:48