定义

例子

性质(文献)

内射模（英语：injective module），在模论中，是具有与有理Z（视为Q 模）相似性质的模。内射模是投射模的对偶概念，由Reinhold Baer于1940年引进。

定义

一个环 R 上的左模 Q 若满足以下等价条件，则称之为内射模：

若 Q 是另一个左 R-模 M 的子模，则存在另一个子模 使得 。 若 是左 R-模的单射， 为同态，则存在同态 使得 。图示如下： 任何短正合序列 都分裂。 函子 HomR( − ,Q) 为正合函子。 右模的定义类此。抽象地说，内射模乃是模范畴中的内射对象。

例子

零模是内射模的平凡例子。 设 R 为域，则任何 R-模（即 R-向量空间）都是内射模，此点可由基的性质证明。 设 G 为紧群（例如有限群），k 为特征为零的域。根据紧群的表示理论，可知任何表示的子表示都是其直和项；若翻译为模的语言，即是：群代数 kG 上的所有模都是内射模。 设 A 为域 k 上含单位元的有限维结合代数。则逆变函子 Homk( − ,k) 给出有限生成左 A-模与有限生成右 k-模的对偶性。因此，有限生成的左 A-模在同构的意义下皆可写作 Homk(P,k)，其中 P 是某个有限生成的投射右 A-模。 在一般的环上也存在充足的（在内射分解的意义下）投射模，以下将述及相关理论。初步的例子包括： 对加法形成内射 -模。群 （n > 1）是内射 -模，而非内射 -模。

性质

内射模的直积（包括无穷直积）仍是内射模，内射模的有限直和仍为内射模。一般而言，内射模的子模、商模或无穷直和并不一定是内射模。

Baer 在其论文中证明了一个有用的结果，通常称作 Baer 判准：一个左 R-模 Q 是内射模当且仅当定义在任一理想 I 上的态射 I→Q 都能延拓到整个 R 上。

利用此判准，可证明主理想域 R 上的模 Q 是内射模当且仅当 Q 可除，即：对任何 R不等于0属于R. q属于Q，存在q'属于R 使得 rq' = q，由此可证 Q 是内射 Z-模，向量空间都是内射模。

最重要的内射模当属 Q/Z：它是 Z-模范畴中的内射上生成元，换言之，这是内射模，而且任何 Z-模皆可嵌入某个 (Q/Z)a次方 中，其中 a 是够大的基数。由此可知任何 Z-模皆可嵌入某个内射 Z-模。此性质对任意环 R 上的左模都成立，要点在于利用 Q/Z 的特性构造左 R-模范畴中的内射上生成元。

我们也可以定义模的内射包（基本上是包含一个模的最小内射模）。任意模 M 都有内射分解，这是形式如下的正合序列：

其中每个 Ij 都是内射的。内射分解可以用以定义模的内射维度（基本上是内射分解的最短长度，可能是无限的）及导函子。

不可分解内射模的自同态环是局部环。

文献

F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.