来历

内容

各种证明

来历

蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）也称为车羊问题或三门问题，是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目“Let’s Make a Deal”。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）

内容

说，从前有一个人获得了一个猜奖的机会，他的面前有三扇门，分别是A、B、C门，其中一扇门后面藏有奖品，另外两扇门后面没有奖品。猜奖人是不知道哪扇门后面有奖品的，但是主持人知道哪扇门后面有奖品。猜奖人首先选择了A门，主持人没有立即打开A门，而是打开了B门，让猜奖人看到B门后面是没有奖品的。这时，主持人要给猜奖人一个重新选择的机会，说：“你是选择A门不变呢，还是改为选择C门呢？”，于是，问题出来了：如果你是猜奖人，你是选择A呢还是改选C呢？为什么？

各种证明

一。

1.当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)：

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。

参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。

参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

在头两种情况，参赛者可以透过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者透过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是透过转换选择而赢的，所以透过转换选择而赢的概率是2/3。

2.当参赛者挑选了一个门（A）之后，这个门后是汽车的概率为1/3，剩下两个门（B和C）作为一个整体的话概率为2/3。 而主持人打开剩下两个门当中一个有山羊的门（B）后，则剩下两个门（B和C）的概率仅仅由那个没打开的门（C）独自承担，因此那个门（C）的概率为2/3。

3.

贝叶斯公式是这样的，B1，B2,B3…Bn为一系列互不相容事件（不可能同时发生），且B1，B2，B3…Bn构成全体样本Ω（P（B1)+P(B2)+…+P(Bn)=1)，则对任意事件A⊂Ω，有：

P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+(P(A|Bn)P(Bn)]

其中P(Bi|A)表示在A发生的条件下Bi发生的概率，以此类推。

具体到这个问题中，就是嘉宾换门（A）这一事件发生的条件下，抽中车（B1）的概率。

由于只需考虑换门和中车这两个事件，故对全体样本Ω作如下设定：

第一次选羊a，换，中 第一次选羊b，换，中 第一次选羊a，不换，不中 第一次选羊b，不换，不中 第一次选车，换，不中 第一次选车，不换，中

从而按照B1（中）,B2（不中）的划分为

B1，中，1/2概率（注意是在已经打开一扇门二选一的前提下）

B2，不中，1/2概率

所要求的概率表达式为

P(B1|A)=P(B1)P(A|B1)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)]

接下来求P(A|B1)和P(A|B2)。

P(A|B1)即在抽中的情形下之前换门的概率。依照对样本Ω的设定和条件概率公式：

P(A|B1)=P(AB1)/P(B1)=中车且换门的概率/中车的概率=（2/6）/（3/6）=2/3

同理，P(A|B2)=1/3。

代入贝叶斯公式，有：

P(B1|A)=(1/2)(2/3)/[(2/3)(1/2)+(1/3)(1/2)]=(1/3)/(1/2)=2/3

故而所求的嘉宾换门的情形下中车的概率为2/3。

既然用贝叶斯定则证明过了，我想这个问题到此可以CLOSE了。

4.

这个问题的计算需要利用条件概率的知识——设A,B是两个事件,且P(B)>0,那么称P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。

先算A门中奖的概率：

设事件A为{A门中奖}，B为{B门不中奖},则P(A)=1\\3,P(B)=2\\3。游戏者选择了A 号门，B 号门后面是山羊，则A门中奖的条件概率P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=P(A)*P(B)/P(B)=1/3.

所以该条件下A门中奖的概率为1/3。

再算C门中奖的概率：

设事件A为{BC门后有奖}，B为{B门不中奖},则P(A)=2\\3,P(B)=2\\3。游戏者选择了A 号门，B 号门后面是山羊，则BC门后有奖的条件概率P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=P(A)*P(B)/P(B)=2/3,又因为B 号门后面是山羊

所以C门中奖的概率=BC门后有奖的条件概率=2/3.

可见改选C门中奖的概率更高，应该改选C。