梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数 。已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。

概念

由来

位数计算

探索历程

意义

概念

也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血(参见百度百科“素数分布”)。在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？！是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。

由来

马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。他捍卫笛卡尔的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。

梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。因此，他被人们誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。梅森和巴黎数学家笛卡儿、费马、罗伯瓦、迈多治等曾每周一次在梅森住所聚会，轮流讨论数学、物理等问题，这种民间学术组织被誉为“梅森学院”，它就是法兰西科学院的前身。

1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。这封信讨论了形如2^P－1的数（其中p为素数）。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P－1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2^P－1是素数，则(2^p－1)2^(p－1)是完美数。

梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2^P－1是合数。前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深信不疑，连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。

虽然梅森的断言中包含着若干错误（后文详述），但他的工作极大地激发了人们研究2^P－1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位。可以说，梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2^P－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2^P－1型素数）。

梅森素数貌似简单，而研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。即使属于“猜测”部分中最小的M^31=2^31－1=2147483647，也具有10位数。可以想象，它的证明是十分艰巨的。正如梅森推测：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。”是啊，枯燥、冗长、单调、刻板的运算会耗尽一个人的毕生精力，谁愿让生命的风帆永远在黑暗中颠簸！人们多么想知道梅森猜测的根据和方法啊，然而年迈力衰的他来不及留下记载，四年之后就去世了；人们的希望与梅森的生命一起泯灭在流逝的时光之中。看来，伟人的“猜测”只有等待后来的伟人来解决了。

位数计算

由于梅森数可能十分巨大，因此计算梅森数的精确位数，需要运用换底公式：log10(2^p)=p*ln(2)/ln(10)，然后加1再取整即可。（因为10^n有n+1位，所以要加1）。

计算梅森数的位数的C++源代码如下：

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<iomanip>

using namespace std;

int main(){

int p;

cout<<"Please input a prime number p:";

cin>>p;

cout<<"M"<<p<<" is a "<<int(p*log10(2)+1)<<"-digit number.\";

return 0;

}

探索历程

由于梅森素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家，如欧几里得、费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等和无数的业余数学爱好者对它进行研究和探寻。2300多年来，人类仅发现47个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。

自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。而梅森断言为素数而未被证实的几个Mp当然首先成为人们研究的对象。

梅森素数的研究难度极大，它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰苦的计算。1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31是一个素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉。法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”这是寻找已知最大素数的先声。欧拉还证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理，即：每个偶完美数都具有形式(2^p－1)2^(p－1)，其中2^p－1是素数。这就使得偶完美数完全成了梅森素数的“副产品”了。欧拉的艰辛给人们提示：在伟人难以突破的困惑面前要想确定更大的梅森素数，只有另辟蹊径了。

100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理。鲁卡斯的工作为梅森素数的研究提供了有力的工具。1883年，数学家波佛辛利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数——这是梅森漏掉的。梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯发现。

1903年，在美国数学学会的大会上，数学家柯尔作了一个一言不发的报告，他在黑板上先算出2^67－1，接着又算出193707721×761838257287，两个结果相同。这时全场观众站了起来为他热烈鼓掌，这在美国数学学会开会的历史上是绝无仅有的一次。他第一个否定了“M67为素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论。这短短几分钟的报告却花了柯尔3年的全部星期天。1922年，数学家克莱契克进一步验证了M257并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年代人们才知道它有3个素因子）。

1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：Mp>3是素数的充分必要条件是Lp-2=0，其中L0=4，Ln+1=(Ln－2)ModMp。这一方法直到今天的“计算机时代”仍发挥重要作用。

“手算笔录时代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。而计算机的产生使寻找梅森素数的研究者如虎添翼。1952年，数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在几个月内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。其后，M3217在1957年被数学家黎塞尔证明是素数；M4253和M4423在1961年被数学家赫维兹证明是素数。1963年，美国数学家吉里斯证明M9689和M9941是素数。

1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数M11213通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，以第一时间发布了这一重要消息；发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，以致于把所有从系里发出的信件都敲上了“2^11213－1是个素数”的邮戳。

1971年3月4日晚，美国哥伦比亚广播公司（CBS）中断了正常节目播放，发布了塔可曼使用IBM360-91型计算机找到新的梅森素数M19937的消息。而到1978年10月，世界几乎所有的大新闻机构（包括我国的新华社）都报道了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M21701。

随着素数P值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比；而各国科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数M23209时，人们告诉他们：在两个星期前诺尔已得到这一结果。为此，史洛温斯基潜心发愤，花了一个半月的时间，使用CRAY-1型计算机找到了新的梅森素数M44497。这个记录成了当时不少美国报纸的头版新闻。之后，这位计算机专家乘胜前进，使用经过改进的CRAY-XMP型计算机在1983年至1985年间找到了3个梅森素数：M86243、M132049和M216091。但他未能确定M86243和M216091之间是否有异于M132049的梅森素数。而到了1988年，科尔魁特和韦尔什使用NEC-FX2型超高速并行计算机果然捕捉到了一条“漏网之鱼”——M110503。沉寂4年之后，1992年3月25日，英国原子能技术权威机构——哈威尔实验室的一个研究小组宣布他们找到了新的梅森素数M756839。1994年1月14日，史洛温斯基和盖奇为其公司再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠——这一素数是M859433。而下一个梅森素数M1257787仍是他们的成果。这一素数是使用CRAY-794超级计算机在1996年取得的。史洛温斯基由于发现7个梅森素数，而被人们誉为“素数大王”。但使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了。

网格(Grid)这一崭新技术的出现使梅森素数的探寻如虎添翼。1996年初，美国数学家和程序设计师乔治· 沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS)项目。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基和其他人建立了”素数网”（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加该项目来搜寻新的梅森素数。

为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新领域基金会(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。其实，绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。

2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家埃德森·史密斯发现了迄今已知的最大梅森素数M43112609，该数也是目前已知的最大素数。这个素数有12978189位；如果用普通字号将它连续写下来，长度可超过50公里！这一重大成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。前不久，史密斯获得了EFF 颁布的10万美元大奖。不过，史密斯是私自利用学校的75台计算机参加GIMPS项目的；本来这种行为应该被处罚，但鉴于他为学校争了光，因而还受到了校方的表彰。而另一位仁兄就没有这样的运气。美国一家电话公司的雇员麦克·福雷斯特偷偷地使用公司内的2585台计算机参加GIMPS项目；随后公司发现计算机经常会出些差错，本来只需要5秒钟就可以接通的电话号码，需要5分钟才能接通。联邦调查局最终查到了原因，福雷斯特承认“被GIMPS项目引诱”；他最后被解雇，并被罚款一万美元。这只能说是公事与私事没有分开，实在令人叹息。

15年来，人们通过GIMPS项目找到了13个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。目前，世界上有180多个国家和地区超过23万人参加了这一国际合作项目，并动用了45万多台计算机联网来寻找新的梅森素数。目前该项目的计算能力已超过当今世界上任何一台最先进的超级矢量计算机的计算能力，运算速度达到每秒700万亿次。著名的《自然》杂志说：GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数寻找的热情，而且会引起人们对网格技术应用研究的高度重视。

时至今日止(2011年12月8日)，人们已经发现了47个梅森素数，并且确定M24036583位于梅森素数序列中的第41位。现把它们列表如下：

　n　Mn　Mn的位数　发现日期　发现者

1　2　3　1　古代　古人

2　3　7　1　古代　古人

3　5　31　2　古代　古人

4　7　127　3　古代　古人

5　13　8191　4　1456年　无名氏

6　17　131071　6　1588年　Cataldi

7　19　524287　6　1588年　Cataldi

8　31　2147483647　10　1772年　欧拉

9　61　2305843009213693951　19　1883年　Pervushin

10　89　618970019…449562111　27　1911年　Powers

11　107　162259276…010288127　33　1914年　Powers

12　127　170141183…884105727　39　1876年　卢卡斯

13　521　686479766…115057151　157　1952年1月30日　Robinson

14　607　531137992…031728127　183　1952年1月30日　Robinson

15　1,279　104079321…168729087　386　1952年6月25日　Robinson

16　2,203　147597991…697771007　664　1952年10月7日　Robinson

17　2,281　446087557…132836351　687　1952年10月9日　Robinson

18　3,217　259117086…909315071　969　1957年9月8日　Riesel

19　4,253　190797007…350484991　1,281　1961年11月3日　Hurwitz

20　4,423　285542542…608580607　1,332　1961年11月3日　Hurwitz

21　9,689　478220278…225754111　2,917　1963年5月11日　Gillies

22　9,941　346088282…789463551　2,993　1963年5月16日　Gillies

23　11,213　281411201…696392191　3,376　1963年6月2日　Gillies

24　19,937　431542479…968041471　6,002　1971年3月4日　布莱恩特·塔克曼

25　21,701　448679166…511882751　6,533　1978年10月30日　Noll& Nickel

26　23,209　402874115…779264511　6,987　1979年2月9日　Noll

27　44,497　854509824…011228671　13,395　1979年4月8日　Nelson& Slowinski

28　86,243　536927995…433438207　25,962　1982年9月25日　Slowinski

29　110,503　521928313…465515007　33,265　1988年1月28日　Colquitt& Welsh

30　132,049　512740276…730061311　39,751　1983年9月20日　Slowinski

31　216,091　746093103…815528447　65,050　1985年9月6日　Slowinski

32　756,839　174135906…544677887　227,832　1992年2月19日　Slowinski& Gage

33　859,433　129498125…500142591　258,716　1994年1月10日　Slowinski& Gage

34　1,257,787　412245773…089366527　378,632　1996年9月3日　Slowinski& Gage

35　1,398,269　814717564…451315711　420,921　1996年11月13日　GIMPS/Joel Armengaud

36　2,976,221　623340076…729201151　895,932　1997年8月24日　GIMPS/Gordon Spence

37　3,021,377　127411683…024694271　909,526　1998年1月27日　GIMPS/Roland Clarkson

38　6,972,593　437075744…924193791　2,098,960　1999年6月1日　GIMPS/Nayan Hajratwala

39　13,466,917　924947738…256259071　4,053,946　2001年11月14日　GIMPS/Michael Cameron

40　20,996,011　125976895…855682047　6,320,430　2003年11月17日　GIMPS/Michael Shafer

41　24,036,583　299410429…733969407　7,235,733　2004年5月15日　GIMPS/Josh Findley

42*　25,964,951　122164630…577077247　7,816,230　2005年2月18日　GIMPS/Martin Nowak

43*　30,402,457　315416475…652943871　9,152,052　2005年12月15日　GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone

44*　32,582,657　124575026…053967871　9,808,358　2006年9月4日　GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone

45*　37,156,667　202254406…308220927　11,185,272　2008年9月6日　GIMPS/Hans-Michael Elvenich

46*　42,643,801　169873516…562314751　12,837,064　2009年4月12日　GIMPS/Odd M. Strindmo

47*　43,112,609　316470269…697152511　12,978,189　2008年8月23日　GIMPS/Edson Smith由上表可见，梅森素数的分布极不规则。我们甚至可以看到，连找到梅森素数的时间分布都极不规则，有时许多年未能找到一个，而有时则一下找到好几个。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意 。中国数学家和语言学家周海中是这方面研究的领先者——他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年2月首次给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志上有一篇评论文章指出，这是梅森素数研究中的一项重大突破。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。中科院院士、著名数学家张景中也对这一猜测评价很高。著名科学家爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。”周氏猜测的提出已有近20年，目前人们需要做的是破解这一难题。

意义

梅森素数历来都是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。自古希腊时代直至17世纪，人们寻找梅森素数的意义似乎只是为了寻找完美数。但自梅森提出其著名断言以来，特别是欧拉证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理以来，完美数已仅仅是梅森素数的一种“副产品”了。

寻找梅森素数在现代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效的途径，自欧拉证明M31为当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。

寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段。如M1257787就是1996年9月美国克雷公司在测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发现梅森素数不仅仅需要高功能的计算机，它还需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因而它还推动了数学皇后——数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。

由于寻找梅森素数需要多种学科的支持，也由于发现新的“大素数”所引起的国际影响使得对于梅森素数的研究能力已在某种意义上标志着一个国家的科学技术水平，而不仅仅是代表数学的研究水平。从各国各种传媒（而不仅仅是学术刊物）争相报道新的梅森素数的发现，我们也可清楚地看到这一点。

梅森素数在实用领域也有用武之地。现在人们已将大素数用于现代密码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。

寻找梅森素数最新的意义是：它促进了分布式计算技术的发展。从最新的13个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，我们已可以想象到网络的威力。分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能；这是一个前景非常广阔的领域。它的探究还推动了快速傅立叶变换的应用。

在当代梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：它的研究成果，一定程度上反映了一国的科技水平。英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯·索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的一种标志,也是科学发展的里程碑之一。

可以相信，梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究。

最后，有必要指出的是：素数有无穷多个，这一点早为欧几里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题；而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目标。让我们以数学大师希尔伯特的名言来结束本文：“我们必须知道，我们必将知道。”