| 词条 | 电磁规律的协变形式 |
| 释义 | § 电磁规律的协变形式 § 正文 狭义相对论指出，对于一切惯性参照系，物理规律都是相同的，而且不同惯性系之间的变换关系是洛伦兹变换。因此，所有描述基本物理规律的方程式，都应该在洛伦兹变换下保持不变。这种不变性就称为洛伦兹不变性。 为了显示一个或一组物理方程的洛伦兹不变性，通常将它表示成这样的形式，使得方程中各项在洛伦兹变换下都具有确定的,并且彼此相同的变换性质。这样,当从一个惯性参照系变换到另一个惯性参照系时，就能得到相同的方程式。具有上述形式的方程就称为协变形式的方程。 电磁量的洛伦兹变换 洛伦兹变换是一个四维变换，因此在洛伦兹变换下的矢量常称为四维矢量或简记作4-矢量。例如三维空间的坐标(x1，x2，x3)配上时刻t就合成一个4－矢量(x0，x1，x2，x3)，其中x0=сt,с为真空中光速。此矢量称为四维时空坐标xμ(μ＝0,1,2,3)。在电磁量（本条采用高斯单位制）中，通常的三维电流密度（j1，j2，j3）同电荷密度 ρ 配成一个四维矢量(j0,j1,j2,j3)，其中j0=ρс。这个矢量就称为四维电流密度 jμ。洛伦兹规范下的电磁矢量势(A1,A2,A3)和标量势嗞也配成一个 4-矢量(A0,A1,A2,A3),其中A0=嗞，称为四维电磁势Aμ。当两个惯性参照系s和s′的空间坐标轴取得彼此平行而且s′沿x轴方向以速度v相对s运动时（并取t=t′=0为两参照系坐标原点相重合的时刻）两者时空坐标间的变换关系为： (1)此即时空坐标的洛伦兹变换。根据矢量的变换性质,s和s┡中电流密度和电磁势也具有类似的变换关系： (2)由此可以得出,如果在s参照系中有一静止的均匀导体回路，其内j10而ρ＝0,则在s′参照系中将观测到ρ′0（见图）。如从s′参照系观测，图中AB段就将带负电，而CD段将带正电。上述电荷的出现可用洛伦兹收缩来说明。与此相应，在s参照系中嗞＝0,只有A；而在s′参照系中嗞 ┡和A′都将不为零。 电磁规律的协变形式 在洛伦兹变换下,电场强度E和磁感应强度B合起来按一个二阶张量来变换，此张量用矩阵表示为： 它的分量记作Fμv（μ、v从0到3），并称为电磁场场强张量。在上述两个惯性参照系s和s′中的场强值，有如下的关系： E'1=E1， B'1=B1， (3)当略去的小项时，上式可写作 。 (4)v代表在s系中所观测的s′系的速度。这样，若在s系中只有电场或只有磁场，则在s′系中将同时有电场和磁场存在。以上结果表明了电场同磁场之间深刻的内在联系，实际上它们是统一的电磁场场强张量的不同分量。 电磁场的能量密度u和能流密度(S1,S2,S3)以及动量密度(g1,g2,g3)和动量流密度φij(i,j取1到3)合起成一个二阶张量 此张量称为电磁场的能量-动量张量，并用Tμv表示。 电磁规律的协变形式 麦克斯韦方程组中的两个方程 , (5)可以合起来用 (6)表示，其中 v=0代表式(5)的第一式，v=1，2，3代表式(5)的第二式。代表张量Fμυ的四维散度，它是一个四维矢量。这样式(6)左右两方都是四维矢量，符合协变要求。 麦克斯韦方程组中的另外两个方程 (7)可以合起来用 (8)表示。注意，前者代表 这是因为洛沦兹变换不是正交变换，故对于矢量和张量还必须区别为逆变和共变两类。前面所说的xμ、jμ、 Aμ和这里的微分算符都是逆变矢量，而微分算符则为共变矢量。式 (8)中每一项都代表一个三阶的逆变张量，故该式是协变的。 这里， 对于指标(μ,v,σ)为完全反对称的,故式(8)实际上只包含四个独立的方程，它们的(μ，v，σ)可取为(1，2，3),(2，3，0),(3，0，1)和(0，1，2)。当(μ，v，σ)取(1，2，3)时，式(8)相应于 墷·B＝0，而当(μ，v，σ)取(2，3，0),(3，0，1)和(0，1，2)时，式(8)相应于 。电荷守恒定律 , (9) 其协变形式为 , (10)即四维电流密度的四维散度为零。而洛伦兹规范下矢量势和标量势的方程 (11)其协变形式即为： (12)式中， 在洛伦兹变换下,三维力密度(f1,f2,f3)和功率密度w亦配成四维矢量(f0,f1,f2,f3)，其中,并称为四维力密度，用fμ表示。这时，洛伦兹力公式： , (13)和功率公式 ω＝E·E。 (14)可以合起来写成 , (15)其中jv表示(ρс，-j1,-j2,-j3)为一共变矢量。式(15)在μ=0时化为式(14)，而在μ=1，2，3时化为式(13)。式(15)两侧都是逆变矢量，因而方程是协变的。能量和动量守恒定律 , (16) 如前所述s为能流密度；Φ为动量流密度，系张量；g为动量密度,，可以合起来写成下述协变形式的方程： 。 (17)以上结果还显示了电磁场能量和动量之间密切的内在联系。 也可采用与以上不同的另一种数学描述，即不引入x0＝сt，而引入一个虚数x4＝iсt来构成四维时空矢量(x1,x2,x3,x4)，在这种描述下，洛伦兹变换形式上为一个正交变换，于是就不必区分共变和逆变两类矢量和张量，从而在数学上得到了简化。 § 配图 § 相关连接 |
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