词条 | 数的几何 |
释义 | § 数的几何 § 正文 又称几何数论,应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支。它的一类典型问题为:设 ƒ(x1,x2,…,xn)是实变量x1,x2, …, xn的实值函数,对于适当选取的整数u1,u2,…un,|ƒ(u1,u2,…un)|的值能有多小?例如,设是一个正定二次型,用数的几何方法可以证明,存在不全为零的整数u1,u2,使得 ,这是最佳结果,其中是型的判别式。 17~18世纪间,J.-L.拉格朗日和C.F.高斯等就已开始以几何观点研究二次型的算术性质。1891年,H.闵科夫斯基发表了数的几何第一篇论文,并于1896年出版了《数的几何学》一书。从此,数的几何成为数论的一个独立分支。 数的几何是研究丢番图逼近、代数数论的重要工具。 用Rn表示n维实欧几里得空间,如果的所有坐标都是整数,那么尣称为一个(n维)整点或格点。全体n维整点的集合记作Λ0。设点集嶅Rn,λ是一个实数,把所有形如(尣∈)的点组成的集记为。如果=-,亦即若尣∈,则-尣∈,那么称为关于原点对称,或简称为对称。如果当含有尣、у时必含有连接尣、у的线段,亦即含有一切形如(1-θ)尣+θу(0≤θ≤1)的点,则称为凸集。关于原点对称的凸集,称为对称凸集。 一个重要的对称凸集,是由以下的一组实线性型定义的: 式中с1,с2,…,сn是正实数,det(αij)≠0。这是一个有界集,其体积是。如果(*)中全是“≤”,那么它就定义了一个闭集。 闵科夫斯基研究了对称凸集的基本性质,获得数的几何第一基本定理:如果嶅Rn是体积为V()(可能为无穷)的对称凸集,且V()≥2n, 那么在中或其边界上必有一个非零整点。 这个定理应用于集(A),得到著名的闵科夫斯基线性型定理:如果正实数с1,с2,…,сn适合с1с2 … сn≥|det(αij)|,那么存在不同时为零的整数x1,x2,…,xn,满足不等式组 。 由此定理可以导出丢番图逼近的一系列结果。例如,对于n个实数α1,α2,…,αn,若其中至少有一个无理数,则有无穷多组(p1/q,p2/q,…,pn/q)适合。此外,上述定理还可用于解决代数数域的基数问题。 有时,需要考虑中含有多少个线性无关的整点。设是闭的对称凸集,0<V()<∞。对于尣∈Rn,定义距离函数,若右式不存在,则令F(尣)=∞。于是0≤F(尣)≤∞,F(λ尣)=λF(尣)(当λ>0),并且={尣|F(尣)≤λ}(λ≥0)。对于集(A)(其中全取“≤”),。 由F(尣)的性质可知,对每个i(1≤i≤n,存在最小的λ=λj,使含有i个线性无关的整点。λj称为的第i个相继极小,亦即 ,于是存在整点m1,m2,…,mn适合 , 线性无关}(i≥2)。 例如,对于超立方体|xj|≤1(1≤i≤n),λj=1(i=1,2,…,n),mj可取作单位矢(0,…,0,1,0,…,0)。 显然,,由闵科夫斯基关于数的几何第一基本定理可知,。 闵科夫斯基进而得到数的几何第二基本定理:设是闭的对称凸集,0<V()<∞,则其相继极小λ1,λ2,…,λn适合不等式 。 这个定理在数论中有不少有趣而重要的应用,例如,W.M.施密特用它为主要工具解决了实代数数联立有理逼近问题。 参考书目 J.W.S.Cassels,An Introduction to the Geometry of Number,Springer-Verlag,Berlin,1959. § 配图 § 相关连接 |
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