| 词条 | 数学期望 |
| 释义 | § 数学期望 § 正文 又称期望或均值,是随机变量按概率的加权平均,表征其概率分布的中心位置。数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念。当时研究的概率问题大多与赌博有关。假如某人在一局赌博中面临如下的情况：在总共m＋n种等可能出现的结果中,有m种结果可赢得α,其余n种结果可赢得b), 则就是他在该局赌博中所能期望的收入。数学期望的这种初始形式早在1657年即由荷兰数学家C.惠更斯明确提出。它是简单算术平均的一种推广。 设x为离散型随机变量，它取值x0，x1,…的概率分别为p1,p2,…,则当级数时，定义它的期望为。这里之所以要求级数绝对收敛，是因为作为期望的这种平均，不应当依赖于求和的次序。若x 为连续型随机变量，其密度函数为p（x），则当积分时,定义它的期望为。在一般场合，设x是概率空间(Ω,F,p)上的随机变量，其分布函数为F(x),则当时,定义x的期望为 式中是斯蒂尔杰斯积分;或是随机变量x 在Ω上对概率测度p的积分。然而,并非所有的随机变量都具有期望。 随机变量的期望,有下列性质:E(x＋Y)=Ex＋EY；若把常数α看作随机变量,则Eα=α；若x≥0,则Ex≥0;若x与Y独立,则E(XY)＝Ex·EY;若随机变量x1,x2,…,xn有联合分布函数F(x1,x2,…,xn),则对一类n元函数ƒ(x1,x2,…,xn)（称为可积的n元波莱尔可测函数，它包括所有可积的初等函数和连续函数），有 若Z＝x＋iY为复随机变量,则定义其数学期望为EZ=Ex＋iEY。 上述数学期望的概念也可推广至随机向量的情形。一个随机向量的数学期望(EX定义为以其各分量xj的数学期望为分量的向量，即，也称为X的均值向量。它也具有一般期望所具有的类似性质。 § 配图 § 相关连接 |
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