| 词条 | 广义相对论 |
| 释义 | 在600千米的距离上观看十倍太阳质量的黑洞（模拟图），背景为银河系 广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。 从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。 爱因斯坦的广义相对论理论在天体物理学中有着非常重要的应用：它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出。有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体例如活动星系核和微类星体发射高强度辐射的直接成因。光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象，这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。广义相对论还预言了引力波的存在，引力波已经被间接观测所证实，而直接观测则是当今世界像激光干涉引力波天文台（LIGO）这样的引力波观测计划的目标。此外，广义相对论还是现代宇宙学的膨胀宇宙模型的理论基础。 § 历史 爱因斯坦解释广义相对论的手稿扉页1905年爱因斯坦发表狭义相对论后，他开始着眼于如何将引力纳入狭义相对论框架的思考。以一个处在自由落体状态的观察者 的理想实验为出发点，他从1907年开始了长达八年的对引力的相对性理论的探索。在历经多次弯路和错误之后，他于1915年11 月在普鲁士科学院上作了发言，其内容正是著名的爱因斯坦引力场方程。这个方程描述了处于时空中的物质是如何影响其周围 的时空几何，并成为了爱因斯坦的广义相对论的核心。 爱因斯坦的引力场方程是一个二阶非线性偏微分方程组，数学上想要求得方程的解是一件非常困难的事。爱因斯坦运用了很多 近似方法，从引力场方程得出了很多最初的预言。不过很快天才的天体物理学家卡尔·史瓦西就在1916年得到了引力场方程的 第一个非平庸精确解——史瓦西度规，这个解是研究星体引力坍缩的最终阶段，即黑洞的理论基础。在同一年，将史瓦西几何 扩展到带有电荷的质量的研究工作也开始进行，其最终结果就是雷斯勒-诺斯特朗姆度规，其对应的是带电荷的静态黑洞。 1917年爱因斯坦将广义相对论理论应用于整个宇宙，开创了相对论宇宙学的研究领域。考虑到同时期的宇宙学研究中静态宇宙 的学说仍被广为接受，爱因斯坦在他的引力场方程中添加了一个新的常数，这被称作宇宙常数项，以求得和当时的“观测”相 符合。然而到了1929年，哈勃等人的观测表明我们的宇宙处在膨胀状态，而相应的膨胀宇宙解早在1922年就已经由亚历山 大·弗里德曼从他的弗里德曼方程（同样由爱因斯坦场方程推出）得到，这个膨胀宇宙解不需要任何附加的宇宙常数项。比利 时牧师勒梅特应用这些解构造了宇宙大爆炸的最早模型，模型预言宇宙是从一个高温高致密状态演化来的。爱因斯坦其后 承认添加宇宙常数项是他一生中犯下的最大错误。 在那个时代，广义相对论与其他物理理论相比仍保持了一种神秘感。由于它和狭义相对论相融洽，并能够解释很多牛顿引力无 法解释的现象，显然它要优于牛顿理论。爱因斯坦本人在1915年证明了广义相对论是如何解释水星轨道的反常近日点进动的现 象，其过程不需要任何附加参数（所谓“敷衍因子”）。另一个著名的实验验证是由亚瑟·爱丁顿爵士率领的探险队在非 洲的普林西比岛观测到的日食时的光线在太阳引力场中的偏折，其偏折角度和广义相对论的预言完全相符（是牛顿理论预 言的偏折角的两倍），这一发现随后被全球报纸竞相报导，一时间使爱因斯坦的理论名声赫赫。但是直到1960年至1975年 间，广义相对论才真正进入了理论物理和天体物理主流研究的视野，这一时期被称作广义相对论的黄金时代。物理学家逐渐理 解了黑洞的概念，并能够通过天体物理学的性质从类星体中识别黑洞。在太阳系内能够进行的更精确的广义相对论的实验 验证进一步展示了广义相对论非凡的预言能力，而相对论宇宙学的预言也同样经受住了实验观测的检验。 § 从经典力学到广义相对论 理解广义相对论的最佳方法之一是从经典力学出发比较两者的异同点：这种方法首先需要认识到经典力学和牛顿引力也可以用几何语言来描述，而将这种几何描述和狭义相对论的基本原理放在一起对理解广义相对论具有启发性作用。 牛顿引力的几何学 经典力学的一个基本原理是：任何一个物体的运动都可看作是一个不受任何外力的自由运动（惯性运动）和一个偏离于这种自由运动的组合。这种偏离来自于施加在物体上的外力作用，其大小和方向遵循牛顿第二定律（外力大小等于物体的惯性质量乘以加速度，方向与加速度方向相同）。而惯性运动与时空的几何性质直接相关：经典力学中在标准参考系下的惯性运动是匀速直线运动。用广义相对论的语言说，惯性运动的轨迹是时空几何上的最短路径（测地线），在闵可夫斯基时空中是直的世界线。 小球落到正在加速的火箭的地板上（左）和落到地球上（右），处在其中的观察者会认为这两种情形下小球的运动轨迹没有什么区别反过来，原则上讲也可以通过观察物体的运动状态和外力作用（如附加的电磁力或摩擦力等）来判断物体的惯性运动性质，从而用来定义物体所处的时空几何。不过，当有引力存在时这种方法会产生一些含糊不清之处：牛顿万有引力定律以及多个彼此独立验证的相关实验表明，自由落体具有一个普遍性（这也被称作弱等效原理，亦即惯性质量与引力质量等价），即任何测试质量的自由落体的轨迹只和它的初始位置和速度有关，与构成测试质量的材质等无关。这一性质的一个简化版本可以通过爱因斯坦的理想实验来说明，如右图所示：对于一个处在狭小的封闭空间中的观察者而言，无法通过观测落下小球的运动轨迹来判断自己是处于地面上的地球引力场中，还是处于一艘无引力作用但正在加速的火箭里（加速度等于地球引力场的引力加速度）；而作为对比，处于电磁场中的带电小球运动和加速参考系中的小球运动则是可以通过不同小球携带不同的电量来区分的。而由于引力场在空间中存在分布的变化，弱等效原理需要加上局部的条件，即在足够小的时空区域内引力场中的自由落体运动和均一加速参考系中的惯性运动是完全相同的。 由于自由落体的普遍性，惯性运动（实验中的火箭内）和在引力场中的运动（实验中的地面上）是无法通过观察来区分的。这是在暗示一类新的惯性运动的定义，即在引力作用下的自由落体也属于惯性运动。通过这种惯性运动则可以重新定义周围的时空几何——从数学上看引力场中惯性运动的轨迹（测地线）和引力势的梯度有关。 相对论的概括 光锥 牛顿引力的几何理论尽管看上去很有趣，但这一理论的基础经典力学不过是（狭义）相对论力学的一个特例。用对称的语言来说，在不考虑引力的情形下物理学具有洛仑兹不变性，而并非经典力学所具有的伽利略不变性。(狭义相对论的对称性包含在庞加莱群中，它除了包含有洛仑兹变换外还包含旋转和平移不变性。)在研究对象的速度接近光速或者高能的情形下这两者的区别逐渐变得明显。 在洛仑兹对称性下可以引入光锥的概念（见左图），光锥构成了狭义相对论中的因果结构：对于每一个发生在时空中的事件A，原则上有能够通过传播速度小于光速的信号或相互作用影响到事件A或被事件A影响的一组事件（具有因果联系），例如图中的事件B；也有一组不可能互相影响的事件（不具有因果联系），例如图中的事件C；而这些事件间有无因果联系都与观测者无关。将光锥和自由落体的世界线联系起来可以导出时空的半黎曼度规，或至少可以得到一个正的标量因子，在数学上这是共形结构的定义。 狭义相对论的建立改变了人们对质量唯一性的观念：质量不过是系统能量和动量的一种表现形式，这使得爱因斯坦着手将弱等效原理纳入一个更广泛的框架中：处于封闭空间中的观察者无论采用什么测量方法（而不仅限于投掷小球）都无法区分自己是处于引力场还是加速参考系中。这种概括成为了著名的爱因斯坦等效原理：在足够小的时空区域中物理定律退化成狭义相对论中的形式；而不可能通过局部的实验来探测到周围引力场的存在。狭义相对论是在不考虑引力的情况下建立的，因此对于实际引力可以忽略的应用这是一个合适的模型。如果考虑引力的存在并假设爱因斯坦等效原理成立，则可知宇宙间不存在全局的惯性系，而只存在跟随着自由落体的粒子一起运动的局部近似惯性系。用时空弯曲的语言来说，是表征了无引力作用的惯性系的直的类时世界线在实际时空中彼此会产生弯曲，这意味着引力的引入会改变时空的几何结构。爱因斯坦等效原理由此暗示引力作用应归属于时空弯曲的范畴，无加速度的惯性运动和引力作用下的自由落体具有完全相同的定义。 实验数据表明，处于引力场中的时钟测量出的时间——或者用相对论的语言称为固有时——并不服从狭义相对论定律的制约。用时空几何的语言来说，这是由于所测量的时空并非闵可夫斯基度规。对于牛顿引力理论而言这暗示着一种更一般的几何学。在微小尺度上所有处于自由落体状态的参考系都是等效的，并且都可近似为闵可夫斯基性质的平直度规。而接下来我们正在处理的是对闵可夫斯基时空的弯曲化的一般性概括，所用到的度规张量定义的所在的时空几何——具体说来是时空中的长度和角度是如何被测量的——并不是狭义相对论的闵可夫斯基度规，这种度规被概括地称作半黎曼度规或伪黎曼度规。并且每一种黎曼度规都自然地与一种特别的联络相关联，这种联络被称作列维-奇维塔联络；事实上这种联络能够满足爱因斯坦等效原理的要求并使得时空具有局部的闵可夫斯基性（这是指在一个适合的局部惯性坐标系下度规是闵可夫斯基性的，其度规的导数和连接系数即克里斯托费尔符号都为零。）。总体上可以归纳为，在爱因斯坦的理论中引力引起的时空弯曲是一种可微分流形，这种流形在局部是平直的，但整体上可能具有非常不同的全局几何。 爱因斯坦方程 在建立了描述引力效应的相对论性几何化版本后，还有一个关于引力的起源问题没有解决。牛顿理论中的引力来源于质量，而在狭义相对论中质量的概念被包含在更具有一般性的能量-动量张量中。这个张量包含了对系统的能量和动量的密度，以及应力（即压强和剪应力的统称）的描述，通过等效原理就可以将能量-动量张量概括到弯曲的时空几何中去。如果和几何化的牛顿引力作进一步的类比，可以很自然地通过一个场方程将能量-动量张量和里奇张量联系起来，而里奇张量正描述了潮汐效应的一类特殊情形：一团初始状态为静止的测试粒子形成的云的体积会由于这群测试粒子作自由落体运动而变化。在狭义相对论中，能量-动量张量的守恒律在数学上对应着它的散度为零，而这一守恒律也可以被概括到更一般的弯曲时空中，其方法是将经典的偏导数替换为它们在曲面流形上的对应物：协变导数。在这一附加条件下，能量-动量张量的协变散度，以及场方程右边所有可能出现的项统统为零，这一组简洁的方程表述被称作爱因斯坦引力场方程。 广义相对论 方程左边是一个由里奇张量构成的并且散度为零的特别组合，这种组合被称作爱因斯坦张量。特别地， 广义相对论 是时空曲率的里奇标量。而里奇张量本身与更一般化的黎曼张量之间的关系为 广义相对论 方程右边的 广义相对论是能量-动量张量。将引力场方程的理论和对行星轨道实际观测的结果（或等价地考虑到弱场低速时近似为牛顿引力理论）相比较，可得到方程中的比例常数 广义相对论，其中是万有引力常数而是光速。当没有物质存在时能量 广义相对论-动量张量为零，这时的爱因斯坦场方程的形式化简为所谓真空解法： 某些广义相对论的替代理论在基于同样的前提下通过附加其他准则或约束得到了形式不一样的引力场方程，例如爱因斯坦-嘉当理论。 § 定义和基础应用 前一章节概括介绍了确立广义相对论的基本内容所需的全部信息，并指出了广义相对论理论的几个关键性质。那么随之而来的问题是，广义相对论对物理学究竟有多重要的意义；具体说来，如何从广义相对论理论建立具有应用价值的具体物理模型呢？ 定义和基本性质 广义相对论是引力的度规理论，其核心是爱因斯坦场方程。场方程描述的是用四维半黎曼流形所描述的时空几何学，与处在时空中物质的能量-动量张量之间的关系。经典力学中由引力引起的现象（例如自由落体、星体轨道运动、航天器轨道等），在广义相对论中对应着在弯曲时空中的惯性运动，即没有所谓外来的引力使得物体的运动偏离它们原本的自然直线运动路径。引力本身是时空属性的几何学改变，使处在其中的物体沿着时空中最短的路径作惯性运动；而反过来时空的曲率是由处在时空中的物质的能量-动量张量改变的。用约翰·惠勒的话来解释说：时空告诉物体如何运动，物体告诉时空如何弯曲。 广义相对论用一个对称的二阶张量替换了经典力学中的引力标量势，不过后者在某些极限情形下会退化为前者。在弱引力场并且速度远小于光速的前提下，相对论的结果和牛顿经典理论的结果是重合的。 广义相对论是用张量表示的，这是其广义协变性的体现：广义相对论的定律——以及在广义相对论框架中得到的物理定律——在所有参考系中具有相同的形式。并且，广义相对论本身并不包含任何不变的几何背景结构，这使得它能够满足更严格的广义相对性原理：物理定律的形式在所有的观察者看来都是相同的。而广义相对论认为在局部由于有等效原理的要求，时空是闵可夫斯基性的，物理定律具有局部洛仑兹不变性。 物理模型的建立 广义相对论性的模型建立的核心内容是爱因斯坦场方程的解。在爱因斯坦场方程和一个附加描述物质属性的方程（类似于麦克斯韦方程组和介质的本构方程）同时已知的前提下，爱因斯坦场方程的解包含有一个确定的半黎曼流形（通常由特定坐标下得到的度规给出），以及一个在这个流形上定义好的物质场。物质和时空几何一定满足爱因斯坦场方程，因此特别地物质的能量-动量张量的协变散度一定为零。当然，物质本身还需要满足描述其属性的附加方程。因此可以将爱因斯坦场方程的解简单理解为一个由广义相对论制约的宇宙模型，其内部的物质还同时满足附加的物理定律。 爱因斯坦场方程是非线性的偏微分方程组，因此想要求得其精确解十分困难。尽管如此，仍有相当数量的精确解被求得，但只有一些具有物理上的直接应用。其中最著名的精确解，同时也是从物理角度来看最令人感兴趣的解包括史瓦西解、雷斯勒-诺斯特朗姆解、克尔解，每一个解都对应着特定类型的黑洞模型；以及弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克解和德西特宇宙，每一个解都对应着一个膨胀的宇宙模型。纯粹理论上比较有趣的精确解还包括哥德尔宇宙（暗示了在弯曲时空中进行时间旅行的可能性）、Taub-NUT解（一种均匀却又各向异性的宇宙模型）、反德西特空间（近年来由于超弦理论中的马尔达西那假说的提出而变得知名）。 寻找爱因斯坦场方程的精确解并非易事，因此在更多场合下爱因斯坦场方程的解是通过计算机采用数值积分的方法，或者对精确解作微扰求得的近似解。在数值相对论这一分支中，人们使用高性能的计算机来数值模拟时空几何，以用于数值求解两个黑洞碰撞等有趣场合下的爱因斯坦场方程。原则上只要计算机的运算能力足够强大，数值相对论的方法就可以应用到任何系统中，从而有可能对裸奇点等基础问题做出解答。另一种求得近似解的方法是借助于像线性化引力和后牛顿力学近似方法这样的微扰理论，这两种微扰方法都是由爱因斯坦发展的，其中后者为求解时空内分布的物体速度远小于光速时的时空几何提供了系统的方法。后牛顿力学近似方法是一系列展开项，第一项对应着牛顿引力，而后面的微扰项对应着广义相对论理论对牛顿力学所作的修正。这种近似展开的一种扩展方法是参数化后牛顿形式，应用这种方法可以量化地比较广义相对论和其替代理论的预言结果. § 爱因斯坦理论的后续 广义相对论对物理学的影响非常深远，其引发了诸多理论和实验的研究成果。其中一部分是从广义相对论的定律中直接导出的，而有些则从广义相对论发表至今经过长久的研究才逐渐变得明朗。 引力时间膨胀和引力红移 光波从一个大质量物体表面出射时频率会发生红移如果等效原理成立，则可得到引力会影响时间流逝的结论。射入引力势阱中的光会发生蓝移，而相反从势阱中射出的光会发生红移；归纳而言这两种现象被称作引力红移。更一般地讲，当有一个大质量物体存在时，对于同一个过程在距离大质量物体更近时会比远离这个物体时进行得更慢，这种现象叫做引力时间膨胀。 引力红移已经在实验室中及在天文观测中得到证实和测量，而地球引力场中的引力时间延缓效应也已经通过原子钟进行过多次测量。当前的测量表明地球引力场的时间延缓会对全球定位系统（GPS）的运行产生一定影响。这种效应在强引力场中的测试是通过对脉冲双星的观测完成的，所有的实验结果都和广义相对论相符。不过在当前的测量精度下，人们还不能从中判断这些观测到底更支持广义相对论还是同样满足等效原理的其他替代理论。 光线偏折和引力时间延迟 从光源（图中蓝点表示）发射出的光线在途经一个致密星体（图中灰色区域表示）时发生光线偏折广义相对论预言光子的路径在引力场中会发生偏折，即当光子途径一个大质量物体时路径会朝向物体发生弯曲。这种效应已经通过对来自遥远恒星或类星体的光线途径太阳时的路径观测得到证实。 这种现象（以及其他相关现象）的原因是光具有被称作类光的（或被称作零性的）测地线——相对于在经典物理中光的传播路线是直线，类光的（或零性的）测地线是广义相对论的相应概括，来源于狭义相对论中的光速不变原理。选取了合适的时空几何（例如黑洞视界外的史瓦西解，或后牛顿展开项）就可以进一步看到引力场对光的传播的影响，这种影响是纯粹广义相对论性的。即是说尽管从经典力学出发，通过计算中心质量对光子的经典散射也可以得到光线的偏折效应，但从这种经典方法得到的偏折角度只有广义相对论结果的一半。 和光线偏折现象密切相关的另一现象是引力时间延迟效应（或称作夏皮罗延迟效应），这种现象是指在引力场中光的传播时间要比无引力场的情形下要长，这种效应已经被多个观测成功证实。在参数化后牛顿形式中，对光线偏折和对时间延迟的测量共同决定了一个参数，这个参数表征了引力对时空几何的影响。 引力波 悬浮在空间中的静止粒子排列成的环弱引力场和电磁场相比有一个重要类同之处：类似于随时间变化的电磁场会辐射电磁波，引力场也有可能会辐射引力波。引力波有如时空度规的涟漪，以光速在空间中传播。最简单的一类情形如右所示：排列成一个环状的自由悬浮粒子（右上静态图像），当有一束正弦引力波穿过这个环并朝向读者传播时，引力波会将这个环以一种具有特征性和旋律性的方式扭曲（右下动画）。由于爱因斯坦场方程是非线性的，强引力场中的任意强度的引力波不满足线性叠加原理。但在弱场情形下可采用线性近似，由于从遥远的天体辐射出的引力波到达地球时已经非常微弱，这时线性化的引力波已经足以精确描述其到达地球时的强度，其引起的空间距离的相对变化大约在10-21或更低。这些线性化的引力波是可以进行傅里叶分解的，对这些引力波信号进行的数据分析正是基于这个原理。 场方程的个别精确解能够在不借助任何近似条件的前提下描述引力波，如一束传遍整个空间的波列，以及所谓高蒂宇宙（多种充满引力波的膨胀宇宙的总称）。不过对于天体物理学意义上的引力辐射而言，例如黑洞双星的合并过程，后牛顿力学近似方法、微扰理论或数值相对论等近似途径是仅有的处理手段。 轨道效应 对于作轨道运动的物体，广义相对论和经典力学的预言在很多地方有所不同。广义相对论预言公转星体的轨道会发生总体的旋转（进动），而轨道本身也会由于引力辐射而发生衰减。 近星点的进动 行星绕恒星作公转的经典力学轨道（红）和广义相对论轨道（蓝）比较广义相对论中，任意轨道的拱点（轨道上最接近或最远离系统质心的点）会发生进动，这使得轨道不再是椭圆，而是一个绕着质心旋转的准椭圆轨道，其总体上看接近于玫瑰线的形状。爱因斯坦最早通过近似度规来表示牛顿力学的极限，并将轨道运动的物体看作一个测试质点从而在理论上得到了这一结果。这一结果的重要性在于，它能够最简洁地解释天文学家勒维耶在1859年发现的水星近日点的反常进动，而这对于当时的爱因斯坦而言是最终确认引力场方程的正确形式的一个重要依据。 从精确的史瓦西度规或采用更为一般的后牛顿力学近似形式也能够推导出这种效应。从本质上说，这种进动是由于引力对时空几何的影响，以及对物体引力的自能量的贡献（其意义包含在爱因斯坦场方程的非线性中）。现在已经观测到了所有能够进行精确轨道进动测量的太阳系行星（水星、金星、地球）的相对论进动，而且已经观察到某些脉冲双星系统的轨道进动效应，其效应要比太阳系内行星高出五个数量级。 轨道衰减 对脉冲双星PSR1913+16的周期变化长达三十年的观测，其周期变化在秒量级内根据广义相对论，一个双星系统会通过引力辐射的形式损失能量。尽管这种能量损失一般相当缓慢，却会使得双星间的距离逐渐降低，同时降低的还有轨道周期。在太阳系内的两体系统或者一般的双星中，这种效应十分微弱因此难以观测。然而对于一个密近脉冲双星系统而言，在轨道运动中它们会发射极度规律的脉冲信号，地球上的接收者从而能够将这个信号序列作为一个高度精确的时钟。这个精确的时钟是用来精确测量脉冲双星轨道周期的最佳工具。并且由于组成脉冲双星的恒星是中子星，其致密性能导致有较多部分的能量以引力辐射的形式传播出去。 最早观测到这种因引力辐射导致的轨道周期衰减的实验是由赫尔斯和泰勒完成的，他们所观测的脉冲双星是他们于1974年发现的PSR1913+16。这也是人类首次在实验上证实引力波的存在，尽管这只是一种间接观测，这项工作因此获得1993年的诺贝尔物理学奖。从那以后更多的脉冲双星被发现，值得一提的是PSRJ0737-3039，双星系统的两个成员都是脉冲星。 测地线效应和参考系拖拽 有些相对论效应与坐标的方向性有关，其一是测地线效应，例如一个在弯曲时空中作自由落体运动的陀螺的自转轴会因此而改变，即使陀螺的自转轴方向在运动过程中尽可能保持一直稳定（即所谓在曲面上作“平行输运”）。地球-月球系统的测地线效应已经通过月球激光测距实验得到验证。近年来人们又通过发射引力探测器B卫星来测量测试质量在地球引力场中的测地线效应，其结果和理论值的误差小于1%。 在一个旋转质量的周围还会产生引力磁性以及更一般的参考系拖拽效应，观察者会认为旋转质量对周围的时空产生拖拽效应，处于旋转质量周围的物体会因此发生坐标改变。一个极端的版本是旋转黑洞的所谓能层区域，当有任何物体进入旋转黑洞的能层时都会不可避免地随着黑洞一起发生转动。理论上这种效应也可以通过观察其对一个自由落体状态的陀螺自转方向的影响进行验证。在存在争议的LAGEOS卫星实验中参考系拖拽效应得到了初步证实。参考系拖拽的测量也是引力探测器B的主要任务之一，其结果预计将于2008年9月发布。 § 天体物理学上的应用 引力透镜 爱因斯坦十字：同一个天体在引力透镜效应下的四个成像 引力场中光线的偏折效应是一类新的天文现象的原因。当观测者与遥远的观测天体之间还存在有一个大质量天体，当观测天体的质量和相对距离合适时观测者会看到多个扭曲的天体成像，这种效应被称作引力透镜。受系统结构、尺寸和质量分布的影响，成像可以是多个，甚至可以形成被称作爱因斯坦环的圆环，或者圆环的一部分弧。最早的引力透镜效应是在1979年发现的，至今已经发现了超过一百个引力透镜。即使这些成像彼此非常接近以至于无法分辨——这种情形被称作微引力透镜——这种效应仍然可通过观测总光强变化测量到，很多微引力透镜也已经被发现。 引力透镜已经发展成为观测天文学的一个重要工具，它被用来探测宇宙间暗物质的存在和分布，并成为了用于观测遥远星系的天然望远镜，还可对哈勃常数做出独立的估计。引力透镜观测数据的统计结果还对星系结构演化的研究具有重要意义。 引力波天文学艺术家的构想图：激光空间干涉引力波探测器LISA对脉冲双星的观测是间接证实引力波存在的有力证据（参见上文轨道衰减一节），然而对来自宇宙深处的引力波的直接观测始终未能实现，这也成为了相对论前沿研究的主要课题之一。现在已经有相当数量的地面引力波探测器投入运行，最著名的是GEO600、LIGO（包括三架激光干涉引力波探测器）、TAMA300和VIRGO；而美国和欧洲合作的空间激光干涉探测器LISA现在正处于开发阶段，其先行测试计划LISA探路者（LISAPathfinder）将于2009年底之前正式发射升空。 对引力波的探测将在很大程度上扩展基于电磁波观测的传统观测天文学的视野，人们能够通过探测到的引力波信号了解到其波源的信息。这些从未被真正了解过的信息可能来自于黑洞、中子星或白矮星等致密星体，可能来自于某些超新星爆发，甚至可能来自宇宙诞生极早期的暴涨时代的某些烙印，例如假想的宇宙弦。 黑洞和其它致密星体 基于广义相对论理论的计算机模拟一颗恒星坍缩为黑洞并释放出引力波的过程广义相对论预言了黑洞的存在，即当一个星体足够致密时，其引力使得时空中的一块区域极端扭曲以至于光都无法逸出。在当前被广为接受的恒星演化模型中，一般认为大质量恒星演化的最终阶段的情形包括1.4倍左右太阳质量的恒星演化为中子星，而数倍至几十倍太阳质量的恒星演化为恒星质量黑洞。具有几百万倍至几十亿倍太阳质量的超大质量黑洞被认为定律性地存在于每个星系的中心，一般认为它们的存在对于星系及更大的宇宙尺度结构的形成具有重要作用。 在天文学上致密星体的最重要属性之一是它们能够极有效率地将引力能量转换为电磁辐射。恒星质量黑洞或超大质量黑洞对星际气体和尘埃的吸积过程被认为是某些非常明亮的天体的形成机制，著名且多样的例子包括星系尺度的活动星系核以及恒星尺度的微类星体。在某些特定场合下吸积过程会在这些天体中激发强度极强的相对论性喷流，这是一种喷射速度可接近光速的且方向性极强的高能等离子束。在对这些现象进行建立模型的过程中广义相对论都起到了关键作用，而实验观测也为支持黑洞的存在以及广义相对论做出的种种预言提供了有力证据。 黑洞也是引力波探测的重要目标之一：黑洞双星的合并过程可能会辐射出能够被地球上的探测器接收到的某些最强的引力波信号，并且在双星合并前的啁啾信号可以被当作一种“标准烛光”从而来推测合并时的距离，并进一步成为在大尺度上探测宇宙膨胀的一种手段。而恒星质量黑洞等小质量致密星体落入超大质量黑洞的这一过程所辐射的引力波能够直接并完整地还原超大质量黑洞周围的时空几何信息。 宇宙学 威尔金森微波各向异性探测器（WMAP）拍摄的全天微波背景辐射的温度涨落现代的宇宙模型是基于带有宇宙常数的爱因斯坦场方程建立的，宇宙常数的值对大尺度的宇宙动力学有着重要影响。 这个经修改的爱因斯坦场方程具有一个各向同性并均匀的解：弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规，在这个解的基础上物理学家建立了从一百四十亿年前炽热的大爆炸中演化而来的宇宙模型。只要能够将这个模型中为数不多的几个参数（例如宇宙的物质平均密度）通过天文观测加以确定，人们就能从进一步得到的实验数据检验这个模型的正确性。这个模型的很多预言都是成功的，这包括太初核合成时期形成的化学元素初始丰度、宇宙的大尺度结构以及早期的宇宙温度在今天留下的“回音”：宇宙微波背景辐射。 从天文学观测得到的宇宙膨胀速率可以进一步估算出宇宙中存在的物质总量，不过有关宇宙中物质的本性还是一个有待解决的问题。现在估计宇宙中大约有90%以上的物质都属于暗物质，它们具有质量（即参与引力相互作用），但不参与电磁相互作用，即它们无法（通过电磁波）直接观测到。目前在已知的粒子物理或其他什么理论的框架中还没有办法对这种物质做出令人满意的描述。另外，对遥远的超新星红移的观测以及对宇宙微波背景辐射的测量显示，我们的宇宙的演化过程在很大程度上受宇宙常数值的影响，而正是宇宙常数的值决定了现在宇宙的加速膨胀。换句话说，宇宙的加速膨胀是由具有非通常意义下的状态方程的某种能量形式决定的，这种能量被称作暗能量，其本性也仍然不为所知。 在所谓暴涨模型中，宇宙曾在诞生的极早期（～10-33秒）经历了剧烈的加速膨胀过程。这个在于二十世纪八十年代提出的假说是由于某些令人困惑并且用经典宇宙学无法解释的观测结果而提出的，例如宇宙微波背景辐射的高度各向同性，而现在对微波背景辐射各向异性的观测结果是支持暴涨模型的证据之一。然而，暴涨的可能的方式也是多样的，现今的观测还无法对此作出约束。一个更大的课题是关于极早期宇宙的物理学的，这涉及到发生在暴涨之前的、由经典宇宙学模型预言的大爆炸奇点。对此比较有权威性的意见是这个问题需要由一个完备的量子引力理论来解答，而这个理论至今还没有建立（参加下文量子引力）。 § 进阶概念 因果结构和全局几何 一个无限的静态闵可夫斯基宇宙的彭罗斯图在广义相对论中没有任何有静止质量的物体能够追上或超过一束光脉冲，即是说发生于某一点的事件A在光从那一点传播到空间中任意位置X之前无法对位置X产生影响。因此，一个时空中所有光的世界线（零性测地线）包含了有关这个时空的关键因果结构信息。描述这种因果结构的是彭罗斯-卡特图，在这种图中无限大的空间区域和时间间隔通过共形变换被“收缩”（数学上称为紧化）在可被容纳的有限时空区域内，而光的世界线仍然和在闵可夫斯基图中一样用对角线表示。 彭罗斯和其他研究者注意到因果结构的重要性，从而发展了所谓全局几何。全局几何中研究的对象不再是爱因斯坦场方程的一个个特定解（或一族解），而是运用一些对所有测地线都成立的关系，如Raychaudhuri方程，以及对物质本性的非特异性假设（通常用所谓能量条件的形式来表述）来推导普适性结论。 视界 在全局几何下可以证明有些时空中存在被称作视界的分界线，它们将时空中的一部分区域隔离起来。这样的最著名例子是黑洞：当质量被压缩到空间中的一块足够小的区域中后（相关长度为史瓦西半径），没有光子能从内部逸出。而由于任何有质量的粒子速度都无法超过光速，黑洞内部的物质也被封闭在视界内。不过，从视界之外到视界之内的通道依然是存在的，这表明黑洞的视界作为一种分界线并不是物理性质的屏障。 一个旋转黑洞的能层，在从旋转黑洞抽取能量的过程中扮演着重要角色早期的黑洞研究主要依赖于求得爱因斯坦场方程的精确解，著名的解包括球对称的史瓦西解（用来描述静态黑洞）和反对称的克尔解（用来描述旋转定态黑洞，并由此引入了能层等有趣的属性）。而后来的研究通过全局几何揭示了更多的关于黑洞的普适性质：研究表明经过一段相当长的时间后黑洞都逐渐演化为一类相当简单的可用十一个参数来确定的星体，包括能量、动量、角动量、某一时刻的位置和所带电荷。这一性质可归纳为黑洞的唯一性定理：“黑洞没有毛发”，即黑洞没有像人类的不同发型那样的不同标记。例如，星体经过引力坍缩形成黑洞的过程非常复杂，但最终形成的黑洞的属性却相当简单。 更值得一提的是黑洞研究已经得到了一组制约黑洞行为的一般性定律，这被称作黑洞（热）力学，这些定律与热力学定律有很强的类比关系。例如根据黑洞力学的第二定律，一个黑洞的视界面积永不会自发地随着时间而减少，这类似于一个热力学系统的熵；这个定律也决定了通过经典方法（例如，彭罗斯过程）不可能从一个旋转黑洞中无限度地抽取能量。这些都强烈暗示了黑洞力学定律实际是热力学定律的一个子集，而黑洞的表面积和它的熵成正比。从这个假设可以进一步修正黑洞力学定律。例如，由于黑洞力学第二定律是热力学第二定律的一部分，则可知黑洞的表面积也有可能减小，只要有某种其它过程来保证系统的总熵是增加的。而热力学第三定律认为不存在温度为绝对零度的物体，可以进一步推知黑洞应该也存在热辐射；半经典理论计算表明它们确实存在有热辐射，在这个机制中黑洞的表面引力充当着普朗克黑体辐射定律中温度的角色，这种辐射称作霍金辐射（参见下文量子理论一节）。 广义相对论还预言了其他类型的视界模型：在一个膨胀宇宙中，观察者可能会发现过去的某些区域不能被观测（所谓“粒子视界”），而未来的某些区域不能被影响（事件视界）。即使是在平直的闵可夫斯基时空中，当观察者处于一个加速的参考系时也会存在视界，这些视界也会伴随有半经典理论中的盎鲁辐射。 奇点 广义相对论的另一个普遍却又令人困扰的特色问题是时空的分界线——奇点的出现。时空可以通过沿着类时和类光的测地线来探索，这些路径是光子及其他所有粒子在自由落体运动中的可能轨迹，但爱因斯坦场方程的某些解具有“粗糙的边缘”——这被称作时空奇点，这些奇点上类时或类光的测地线会突然中止，而对于这些奇点没有定义好的时空几何来描述。需要说明的是，“奇点”往往可能并不是一个“点”：那些场方程的解的“粗糙边缘”在既有坐标系下，不仅可能是一个“点”，还可以以其他几何形式出现（比如克尔黑洞的“奇环”等）。一般意义上的奇点是指曲率奇点，这是说在这些点上描述时空曲率的几何量，例如里奇张量为无限大（曲率奇点是相对所谓坐标奇点而言的，坐标奇点本质上不属于奇点的范畴：有些度规在某个特定坐标下会产生无穷大，但本质上这些点不具有奇性，在其他合适的坐标下是光滑的，也不会产生无穷大的曲率张量）。描述未来的奇点（世界线的终结）的著名例子包括永远静态的史瓦西黑洞内部的奇点，以及永远旋转的克尔黑洞内部的环状奇点。弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规，以及其他描述宇宙的时空几何都具有过去的奇点（世界线的开端），这被称作大爆炸奇点，而有些还具有未来的奇点（大挤压）。 考虑到这些模型都是高度对称从而被简化的，人们很容易去猜测奇点的出现是否只是理想状态下的不自然产物。然而著名的由全局几何证明的奇点定理指出，奇点是广义相对论的一个普遍特色结果，并且任何有质量的实体发生引力坍缩并达到一个特定阶段后都会形成奇点，而在一系列膨胀宇宙模型中也一样存在奇点。不过奇点定理的内容基本没有涉及到奇点的性质，这些关于确定奇点的一般结构（例如所谓BKL假说）的问题是当前相关研究的主要课题。另一方面，由于在对于物理规律的破坏方面而言，一个被包裹于视界之中的奇点被认为要好过一个“裸”的奇点，故而宇宙监督假说被提出，它认为所有未来的实际奇点（即没有完美对称性的具有实际性质的物体形成的奇点）都会被藏在视界之内，从而对外面对观察者不可见，即自然界憎恨裸奇点。尽管还没有实际证据证明这一点，有数值模拟的结果支持这一假说的正确性。 演化方程 每一个爱因斯坦场方程的解都是一个宇宙，这里的宇宙含义既包括了整个空间，也包括了过去与未来——它们并不单单是反映某些事物的“快照”，而是所描述的时空的完全写真。每一个解在其专属的特定宇宙中都能描述任意时间和任意位置的时空几何和物质状态。出于这个表征，爱因斯坦的理论看上去与其他大多数物理理论有所不同：大多数物理理论都需要指明一个物理系统的演化方程（例如量子力学中的埃伦费斯特定理），即如果一个物理系统在给定时刻的状态已知，其演化方程能够允许描述系统在过去和未来的状态。爱因斯坦理论中的引力场和其他场的更多区别还在于前者是自身相互作用的（是指它在没有其他场出现时仍然还是非线性的），并且不具有固定的背景结构（在宇宙尺度上会发生演化）。 为了更好地理解爱因斯坦场方程这个与时间有关的偏微分方程，可以将它写成某种能够描述宇宙随时间演化的形式。这种形式被称作“3+1”分解，其中时空被分为三维空间和一维时间。最著名的形式叫做ADM形式，在这种分解下广义相对论的时空演化方程具有良好的性质：在适当的初始条件给定的情形下方程有解并且是唯一的。场方程的“3+1”分解形式是数值相对论的研究基础。 全局和准局部量 演化方程的观念与广义相对论性物理中的另一个方面紧密联系：在爱因斯坦的理论中，一个系统的总质量（或能量）这个看似简单的概念无法找到一种普遍性的定义。其原因在于，引力场原则上并不像其他的场那样具有可以局部化的能量。 尽管如此，试图通过其他途径来定义一个系统的总质量还是可能的，在经典物理中，质量（或能量）的定义可以来自时间平移不变性的守恒量，或是通过系统的哈密顿形式。在广义相对论中，从这两种途径出发可以分别得到如下质量的定义： * 柯玛质量：从类时的Killing矢量出发通过柯玛积分得到的在时间平移不变性下的守恒量，表现为一个静态时空的总能量； * ADM质量：在一个渐近平直时空中建立广义相对论的哈密顿形式，从中定义系统的总能量。 如果将一个系统的总质量中被引力波携带至无限远处的能量除去，得到的结果叫做零性无限远处的邦迪质量。这些定义而来的质量被舍恩和丘成桐的正质量定理证明是正值，而动量和角动量也具有全局的相应定义。在这方面的研究中还有很多试图建立所谓准局部量的尝试，例如仅通过一个孤立系统所在的有限空间区域中包含的物理量来构造这个孤立系统的质量。这类尝试寄希望于能够找到一个更好地描述孤立系统的量化方式，例如环假说的某种更精确的形式。 § 和量子理论的关系 如果说广义相对论是现代物理学的两大支柱之一，那么量子理论作为我们借此了解基本粒子以及凝聚态物理的基础理论就是现代物理的另一支柱。然而，如何将量子理论中的概念应用到广义相对论的框架中仍然是一个未能解决的问题。 弯曲时空中的量子场论 作为现代物理中粒子物理学的基础，通常意义上的量子场论是建立在平直的闵可夫斯基时空中的，这对于处在像地球这样的弱引力场中的微观粒子的描述而言是一个非常好的近似。而在某些情形中，引力场的强度足以影响到其中的量子化的物质但不足以要求引力场本身也被量子化，为此物理学家发展了弯曲时空中的量子场论。这些理论借助于经典的广义相对论来描述弯曲的背景时空，并定义了广义化的弯曲时空中的量子场理论。通过这种理论，可以证明黑洞也在通过黑体辐射释放出粒子，这即是霍金辐射，并有可能通过这种机制导致黑洞最终蒸发。如前文所述，霍金辐射在黑洞热力学的研究中起到了关键作用。 量子引力 物质的量子化描述和时空的几何化描述之间彼此不具有相容性，以及广义相对论中时空曲率无限大（意味着其结构成为微观尺度）的奇点的出现，这些都要求着一个完整的量子引力理论的建立。这个理论需要能够对黑洞内部以及极早期宇宙的情形做出充分的描述，而其中的引力和相关的时空几何需要用量子化的语言来叙述。尽管物理学家为此做出了很多努力，并有多个有潜质的候选理论已经发展起来，至今人类还没能得到一个称得上完整并自洽的量子引力理论。一个卡拉比-丘流形的投影，由弦论所提出的紧化额外维度的一种方法量子场论作为粒子物理的基础已经能够描述除引力外的其余三种基本相互作用，但试图将引力概括到量子场论的框架中的尝试却遇到了严重的问题。在低能区域这种尝试取得了成功，其结果是一个可被接受的引力的有效（量子）场理论，但在高能区域得到的模型是发散的（不可重整化）。 圈量子引力中的一个简单自旋网络试图克服这些限制的尝试性理论之一是弦论，在这种量子理论中研究的最基本单位不再是点状粒子，而是一维的弦。弦论有可能成为能够描述所有粒子和包括引力在内的基本相互作用的大统一理论，其代价是导致了在三维空间的基础上生成六维的额外维度等反常特性。在所谓第二次超弦理论革新中，人们猜测超弦理论，以及广义相对论与超对称的统一即所谓超引力，能够构成一个猜想的十一维模型的一部分，这种模型叫做M理论，它被认为能够建立一个具有唯一性定义且自洽的量子引力理论。 另外一种尝试来自于量子理论中的正则量子化方法。应用广义相对论的初值形式（参见上文演化方程一节），其结果是惠勒-得卫特方程（其作用类似于薛定谔方程）。虽然这个方程在一般情形下定义并不完备，但在所谓阿西特卡变量的引入下，从这个方程能够得到一个很有前途的模型：圈量子引力。在这个理论中空间是一种被称作自旋网络的网状结构，并在离散的时间中演化。 取决于广义相对论和量子理论中的哪些性质可以被接受保留，并在什么能量量级上需要引入变化，对量子引力的尝试理论还有很多，例如动力三角剖分、因果组合、扭量理论以及基于路径积分的量子宇宙学模型。 所有这些尝试性候选理论都仍有形式上和概念上的主要问题需要解决，而且它们都在面临一个共同的问题，即至今还没有办法从实验上验证量子引力理论的预言，进而无法通过多个理论之间某些预言的不同来判别其正确性。在这个意义上，量子引力的实验观测还需要寄希望于未来的宇宙学观测以及相关的粒子物理实验逐渐成为可能。 § 当前进展 在引力和宇宙学的研究中，广义相对论已经成为了一个高度成功的模型，至今为止已经通过了每一次意义明确的观测和实验的检验。然而即便如此，仍然有证据显示这个理论并不是那么完善的：对量子引力的寻求以及时空奇点的现实性问题依然有待解决；实验观测得到的支持暗物质和暗能量存在的数据结果也在暗暗呼唤着一种新物理学的建立；而从先驱者号观测到的反常效应也许可以用已知的理论来解释，也许则真的是一种新物理学来临的预告。不过，广义相对论之中仍然充满了值得探索的可能性：数学相对论学家正在寻求理解奇点的本性，以及爱因斯坦场方程的基本属性；不断更新的计算机正在进行黑洞合并等更多的数值模拟；而第一次直接观测到引力波的竞赛也正在前进中，人类希望借此能够在比至今能达到的强得多的引力场中创造更多检验这个理论的正确性的机会。在爱因斯坦发表他的理论九十多年之后，广义相对论依然是一个高度活跃的研究领域。 § 广义相对论基础教案示例 广义相对性原理和等效原理 狭义相对论认为，在不同的惯性参考系中一切物理规律都是相同的．爱因斯坦在此基础上又向前迈进了一大步，认为在任何参考系中（包括非惯性系）物理规律都是相同的，这就是广义相对性原理． 下面介绍广义相对论的另一个基本原理． 假设宇宙飞船是全封闭的，宇航员和外界没有任何联系，那么他就没有任何办法来判断，使物体以某一加速度下落的力到底是引力还是惯性力．实际上，不仅是自由落体的实验，飞船内部的任何物理过程都不能告诉我们，飞船到底是在加速运动，还是停泊在一个行星的表面．这里谈到的情景和本章第一节所述伽利略大船中的情景十分相似．这个事实使我们想到：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价．爱因斯坦把它作为广义相对论的第二个基本原理，这就是著名的等效原理． 从这两个基本原理出发可以直接得出一些意想不到的结论． 广义相对论 假设在引力可以忽略的宇宙空间有一艘宇宙飞船在做匀加速直线运动，一束光垂直于运动方向射入这艘飞船．船外静止的观察者当然会看到这束光是沿直线传播的，但是飞船中的观察者以飞船为参考系看到的却是另外一番情景．为了记录光束在飞船中的径迹，他在船中等距离地放置一些半透明的屏（如图），光可以透过这些屏，同时在屏上留下光点．由于飞船在前进，光到达下一屏的位置总会比到达上一展的位置更加靠近船尾．如果飞船做匀速直线运动，光在任何相邻两屏之间飞行时，飞船前进的距离都相等，飞船上的观察者看到光的径迹仍是一条直线（如图中的虚线），尽管直线的方向与船外静止观察者看到的直线方向不一样．如果飞船做匀加速直线运动，在光向右传播的同时，飞船的速度也在不断增大，因此船上观察者记录下的光的径迹是一条抛物线（如图中的实线）． 根据等效原理，飞船中的观察者也完全可以认为飞船没有加速运动，而是在船尾方向存在一块巨大的物体，它的引力场影响了飞船内的物理过程．因此我们得出结论：物体的引力能使光线弯曲． 通常物体的引力场都太弱，20世纪初只能观测到太阳引力场引起的光线弯曲．由于太阳引力场的作用，我们有可能看到太阳后面的恒星（如图）．但是，平时的明亮天空使我们无法观星，所以最好的时机是发生日全食的时候．1919年5月29日恰好有一次日全食，两支英国考察队分赴几内亚湾和巴西进行观测，其结果完全证实了爱因斯坦的预言．这是广义相对论的最早的验证． 如图的现象表明，星球的强引力场能使它背后传来的光线会聚，这种现象叫做引力透镜效应．宇宙中很可能存在着黑洞，黑洞不辐射电磁波，因此无法直接观测，但是它的巨大质量和极小的体积使它附近具有极强的引力场，所以引力透镜效应是探索黑洞的途径之一． 时间间隔与引力场有关 引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别． 广义相对论 我们考察一个转动的巨大圆盘（如图）．从地面上看，圆盘上除转动轴的位置外，各点都在做加速运动，越是靠近边缘，加速度越大，方向指向盘心．从地面上还会看到，越是靠近边缘的点，速度越大．根据狭义相对论，同一个过程，越是发生在靠近边缘的位置，这个过程所持续的时间就越长．或者说，靠近边缘位置的时间进程比较缓慢． 现在再以圆盘本身为参考系研究这个现象．圆盘上的人认为，盘上存在着一个引力场，方向由盘心指向边缘．既然靠近边缘位置的时间进程比较缓慢，盘上的人就可以得出结论：在引力势较低的位置，时间进程比较慢． 宇宙中有一类恒星，体积很小，质量却不小，叫做矮星．矮星表面的引力很强，引力势比地球表面低得多．矮星表面的时间进程比较慢，那里的原子发光的频率比同种原子在地球上发光的频率低，看起来偏红．这个现象叫做引力红移，已经在天文观测中得到证实．现代技术也能够在地球上验证引力红移． 杆的长度与引力场有关 仍然考察转动的圆盘．同样的杆，放在盘上的不同位置，它们随盘运动的速度就不一样，根据狭义相对论，它们的长度也就不一样，越是靠近边缘，杆就越短．盘上的人也观察到了这种差别，不过他以圆盘为参考系，认为盘是静止的，同时他还认为盘上各点存在着指向圆盘边缘的引力，因此他得出结论：引力势越低的位置，杆的长度越短． 杆的长度和引力场的分布有关，这个现象反映出这样的事实，即由于物质的存在，实际空间并不是均匀的，这和我们过去的观念有很大的差别．打个比方，一块布上面的格子是整齐的（如图甲），如果用手向下压，格子就弯曲了（如图乙）．物理学借用了“弯曲”这个词，通常说，由于物质的存在，实际的空间是弯曲的． 行星沿椭圆轨道绕太阳运动，有时离太阳近些，有时远些．太阳的巨大质量使它周围的空间发生弯曲，其结果是，行星每公转一周它的轨道的长轴都比上一个周期偏转一个角度，这个现象叫做行星轨道的进动．理论分析表明只有水星轨道的进动比较显著，达到约每世纪0.01°．这个现象早在广义相对论出现之前就已经发现，只是无法解释，所以它实际是广义相对论的最早的佐证． 广义相对论与几何学 最后，我们再次回到转动的圆盘．狭义相对论告诉我们，只有沿着运动方向的长度发生变化，垂直于运动方向的长度不会变化；如果以圆盘为参考系，就可以说，沿着引力方向的空间尺度没有变化，只有垂直于引力方向的空间尺度发生了改变．这一点具有非常深刻的意义，因为这时测量圆盘的周长和直径，它们的比值就不再是3.141 59…，而是别的值，三角形的内角和也不会是180°了……简而言之，由于实际空间是弯曲的，我们学习的几何学已经不适用了． 几何学反映的是人对空间关系的认识．有史以来人们只是在比较小的空间尺度中接触到比较弱的引力场．这种情况下空间的弯曲可以忽略，在此基础上人类发展了欧几里得几何学，它反映了平直空间的实际．广义相对论告诉我们实际空间是弯曲的，因此描述实际空间的应该是更具有一般意义的非欧几何．不过，作为非欧几何的特例，欧几里得几何学在它的适用范围内仍是正确的，还将继续发挥作用． § 诞生背景 爱因斯坦在1905年发表了一篇探讨光线在狭义相对论中，重力和加速度对其影响的论文，广义相对论的雏型就此开始形成。1912年，爱因斯坦发表了另外一篇论文，探讨如何将重力场用几何的语言来描述。至此，广义相对论的运动学出现了。到了1915年，爱因斯坦场方程式被发表了出来，整个广义相对论的动力学才终于完成。 1915年后，广义相对论的发展多集中在解开场方程式上，解答的物理解释以及寻求可能的实验与观测也占了很大的一部份。但因为场方程式是一个非线性偏微分方程，很难得出解来，所以在电脑开始应用在科学上之前，也只有少数的解被解出来而已。其中最著名的有三个解：史瓦西解(the Schwarzschild solution (1916)), the Reissner-Nordström solution and the Kerr solution。 在广义相对论的观测上，也有著许多的进展。水星的岁差（科技名词定义 中文名称： 岁差 英文名称： precession 定义1： 地球瞬时自转轴在惯性空间不断改变方向的长期性运动。 所属学科： 测绘学（一级学科） ；大地测量学（二级学科） 定义2： 因地球自转轴的空间指向和黄道平面的长期变化而引起的春分点移动现象。 所属学科： 天文学（一级学科） ；天体测量学（二级学科） ），是第一个证明广义相对论是正确的证据，这是在相对论出现之前就已经量测到的现象，直到广义相对论被爱因斯坦发现之后，才得到了理论的说明。第二个实验则是1919年爱丁顿在非洲趁日蚀的时候量测星光因太阳的重力场所产生的偏折，和广义相对论所预测的一模一样。这时，广义相对论的理论已被大众和大多的物理学家广泛地接受了。之后，更有许多的实验去测试广义相对论的理论，并且证实了广义相对论的正确。 另外，宇宙的膨胀也创造出了广义相对论的另一场高潮。从19 爱因斯坦解释广义相对论的手稿扉页 22年开始，研究者们就发现场方程式所得出的解答会是一个膨胀中的宇宙，而爱因斯坦在那时自然也不相信宇宙会来涨缩，所以他便在场方程式中加入了一个宇宙常数来使场方程式可以解出一个稳定宇宙的解出来。但是这个解有两个问题。在理论上，一个稳定宇宙的解在数学上不是稳定。另外在观测上，1929年，哈勃发现了宇宙其实是在膨胀的，这个实验结果使得爱因斯坦放弃了宇宙常数，并宣称这是我一生最大的错误(the biggest blunder in my career)。 但根据最近的一形超新星的观察，宇宙膨胀正在加速。所以宇宙常数似乎有败部复活的可能性，宇宙中存在的暗能量可能就必须用宇宙常数来解释. 基本假设 简单地说，广义相对论的两个基本原理是：一，等效原理：引力与惯性力等效；二，广义相对性原理： 等效原理 所有的物理定律在任何参考系中都取相同的形式。 等效原理 等效原理：分为弱等效原理和强等效原理，弱等效原理认为引力质量和惯性质量是等同的。强等效原理认为，两个空间分别受到引力和与之等大的惯性力的作用，在这两个空间中从事一切实验，都将得出同样的物理规律。 现在有不少学者在从事等效原理的论证研究，但是至少目前能够做到的精度来看，未曾从实验上证明等效原理是破缺的。 广义相对性原理 广义相对性原理：物理定律的形式在一切参考系都是不变的。 普通物理学(大学课本)中是这样描述这两个原理的： 等效原理：在处于均匀的恒定引力场影响下的惯性系，所发生的一切物理现象，可以和一个不受引力场影响的，但以恒定加速度运动的非惯性系内的物理现象完全相同。 广义相对论的相对性原理：所有非惯性系和有引力场存在的惯性系对于描述物理现象都是等价的。 § 广义相对论的基本概念 广义相对论是基于狭义相对论的。如果后者被证明是错误的，整个理论的大厦都将垮塌。 质量的两种不同表述 为了理解广义相对论，我们必须明确质量在经典力学中是如何定义的。 首先，让我们思考一下质量在日常生活中代表什么。“它是重量”？事实上，我们认为质量是某种可称量的东西，正如我们是这样度量它的：我们把需要测出其质量的物体放在一架天平上。我们这样做是利用了质量的什么性质呢？是地球和被测物体相互吸引的事实。这种质量被称作“ 小球落到正在加速的地板上和落到地球上 引力质量”。我们称它为“引力的”是因为它决定了宇宙中所有星星和恒星的运行：地球和太阳间的引力质量驱使地球围绕后者作近乎圆形的环绕运动。 现在，试着在一个平面上推你的汽车。你不能否认你的汽车强烈地反抗着你要给它的加速度。这是因为你的汽车有一个非常大的质量。移动轻的物体要比移动重的物体轻松。质量也可以用另一种方式定义：“它反抗加速度”。这种质量被称作“惯性质量”。 因此我们得出这个结论：我们可以用两种方法度量质量。要么我们称它的重量（非常简单），要么我们测量它对加速度的抵抗（使用牛顿定律）。 人们做了许多实验以测量同一物体的惯性质量和引力质量。所有的实验结果都得出同一结论：惯性质量等于引力质量。 牛顿自己意识到这种质量的等同性是由某种他的理论不能够解释的原因引起的。但他认为这一结果是一种简单的巧合。与此相反，爱因斯坦发现这种等同性中存在着一条取代牛顿理论的通道。 日常经验验证了这一等同性：两个物体（一轻一重）会以相同的速度“下落”。然而重的物体受到的地球引力比轻的大。那么为什么它不会“落”得更快呢？因为它对加速度的抵抗更强。结论是，引力场中物体的加速度与其质量无关。伽利略是第一个注意到此现象的人。重要的是你应该明白，引力场中所有的物体“以同一加速度下落”是（经典力学中）惯性质量和引力质量等同的结果。 现在我们关注一下“下落”这个表述。物体“下落”是由于地球的引力质量产生了地球的引力场。两个物体在所有相同的引力场中的加速度相同。不论是月亮的还是太阳的， 光锥 它们以相同的比率被加速。这就是说它们的速度在每秒钟内的增量相同。（加速度是速度每秒的增加值） 引力质量和惯性质量的等同性 爱因斯坦一直在寻找“引力质量与惯性质量相等”的解释。为了这个目标，他作出了被称作“等同原理”的第三假设。它说明：如果一个惯性系相对于一个伽利略系被均匀地加速，那么我们就可以通过引入相对于它的一个均匀引力场而认为它（该惯性系）是静止的。 让我们来考查一个惯性系K’，它有一个相对于伽利略系的均匀加速运动。在K 和K’周围有许多物体。此物体相对于K是静止的。因此这些物体相对于K’有一个相同的加速运动。这个加速度对所有的物体都是相同的，并且与K’相对于K的加速度方向相反。我们说过，在一个引力场中所有物体的加速度的大小都是相同的，因此其效果等同于K’是静止的并且存在一个均匀的引力场。 因此如果我们确立等同原理，物体的两种质量相等只是它的一个简单推论。 这就是为什么（质量）等同是支持等同原理的一个重要论据。 通过假定K’静止且引力场存在，我们将K’理解为一个伽利略系，（这样我们就可以）在其中研究力学规律。由此爱因斯坦确立了他的第四个原理。 § 主要内容 爱因斯坦提出“等效原理”，即引力和惯性力是等效的。这一原理建立在引力质量与惯性质量的等价性上。根据等效原理，爱因斯坦把狭义相对性原理推广为广义相对性原理，即物理定律的形式在一切参考系都是不变的。物体的运动方程即该参考系中的测地线方程。测地线方程与物体自身固有性质无关，只取决于时空局域几何性质。而引力正是时空局域几何性质的表现。物质质量的存在会造成时空的弯曲，在弯曲的时空中，物体仍然顺着最短距离进行运动(即沿着测地线运动——在欧氏空间中即是直线运动)，如地球在太阳造成的弯曲时空中的测地线运动，实际是绕着太阳转，造成引力作用效应。正如在弯曲的地球表面上，如果以直线运动，实际是绕着地球表面的大圆走。 引力是时空局域几何性质的表现。虽然广义相对论是爱因斯坦创立的，但是它的数学基础的源头可以追溯到欧氏几何的公理和数个世纪以来为证明欧几里德第五公设（即平行线永远保持等距）所做的努力，这方面的努力在罗巴切夫斯基、Bolyai、高斯的工作中到达了顶点：他们指出欧氏第五公设是不能用前四条公设证明的。非欧几何的一般数学理论是由高斯的学生黎曼发展出来的。所以也称为黎曼几何或曲面几何，在爱因斯坦发展出广义相对论之前，人们都认为非欧几何是无法应用到真实世界 光波从一个大质量物体表面出射频率发生红移 中来的。 在广义相对论中，引力的作用被“几何化”——即是说：狭义相对论的闵氏空间背景加上万有引力的物理图景在广义相对论中变成了黎曼空间背景下不受力(假设没有电磁等相互作用)的自由运动的物理图景，其动力学方程与自身质量无关而成为测地线方程： 而万有引力定律也代之以爱因斯坦场方程： R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv （Rμν-（1/2）gμνR=8GπTμν/（c*c*c*c） -gμν） 其中 G 为牛顿万有引力常数 该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。它以复杂而美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。 加入宇宙学常数后的场方程为： R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv § 广义相对论的宇宙现象与科研应用 按照广义相对论，在局部惯性系内，不存在引力，一维时间和三维空间组成四维平坦的欧几里得空间；在任意参考系内，存在引力，引力引起时空弯曲，因而时空是四维弯曲的非欧黎曼空间。爱因斯坦找到了物质分布影响时空几何的引力场方程。时间空间的弯曲结构取决于物质能量密度、动量密度在时间空间中的分布，而时间空间的弯曲结构又反过来决定物体的运动轨道。在引力不强、时间空间弯曲很小情况下，广义相对论的预言同牛顿万有引力定律和牛顿运动定律的预言趋于一致；而引力较强、时间空间弯曲较大情况下，两者有区别。广义相对论提出以来，预言了水星近日点反常进动、光频引力红移、光线引力偏折以及雷达回波延迟，都被天文观测或实验所证实。近年来，关于脉冲双星的观测也 从光源射出的光线途经致密星体时发生偏折 提供了有关广义相对论预言存在引力波的有力证据。 广义相对论由于它被令人惊叹地证实以及其理论上的优美，很快得到人们的承认和赞赏。然而由于牛顿引力理论对于绝大部分引力现象已经足够精确，广义相对论只提供了一个极小的修正，人们在实用上并不需要它，因此，广义相对论建立以后的半个世纪，并没有受到充分重视，也没有得到迅速发展。到20世纪60年代，情况发生变化，发现强引力天体（中子星）和3K宇宙背景辐射，使广义相对论的研究蓬勃发展起来。广义相对论对于研究天体结构和演化以及宇宙的结构和演化具有重要意义。中子星的形成和结构、黑洞物理和黑洞探测、引力辐射理论和引力波探测、大爆炸宇宙学、量子引力以及大尺度时空的拓扑结构等问题的研究正在深入，广义相对论成为物理研究的重要理论基础。 § 广义相对论的实验检验 在广义相对论建立之初，爱因斯坦提出了三项实验检验，一是水星近日点的进动，二是光线在引力场中的弯曲，三是光谱线的引力红移。其中只有水星近日点进动是已经确认的事实，其余两项只是后来才陆续得到证实。60年代以后，又有人提出观测雷达回波延迟、引力波等方案。 1 水星近日点进动 1859年，天文学家勒维利埃（Le Verrier）发现水星近日点进动的观测值，比根据牛顿定律计算的理论值每百年快38角秒。他猜想可能在水星以内还有一颗小行星，这颗小行星对水星的引力导致两者的偏差。可是经过多年的搜索，始终没有找到这颗小行星。1882年，纽康姆（S.Newcomb） 经过重新计算，得出水星近日点的多余进动值为每百年43角秒。他提出，有可能是水星因发出黄道光的弥漫物质使水星的运动受到阻尼。但这又不能解释为什么其他几颗 悬浮在空间中的静止粒子排列成的环 行星也有类似的多余进动。纽康姆于是怀疑引力是否服从平方反比定律。后来还有人用电磁理论来解释水星近日点进动的反常现象，都未获成功。 1915年，爱因斯坦根据广义相对论把行星的绕日运动看成是它在太阳引力场中的运动，由于太阳的质量造成周围空间发生弯曲，使行星每公转一周近日点进动为： ε=24π2a2/T2c2（1-e2） 其中a为行星轨道的长半轴，c为光速，以cm/s表示，e为偏心率，T为公转周期。对于水星，计算出ε=43″/百年，正好与纽康姆的结果相符，一举解决了牛顿引力理论多年未解决的悬案。这个结果当时成了广义相对论最有力的一个证据。水星是最接近太阳的内行星。离中心天体越近，引力场越强，时空弯曲的曲率就越大。再加上水星运动轨道的偏心率较大，所以进动的修正值也比其他行星为大。后来测到的金星，地球和小行星伊卡鲁斯的多余进动跟理论计算也都基本相符。 2 光线在引力场中的弯曲 1911年爱因斯坦在《引力对光传播的影响》一文中讨论了光线经过太阳附近时由于太阳引力的作用会产生弯曲。他推算出偏角为0.83″，并且指出这一现象可以在日全食进行观测。1914年德国天文学家弗劳德（E.F.Freundlich）领队去克里木半岛准备对当年八月间的日全食进行观测，正遇上第一次世界大战爆发，观测未能进行。幸亏这样，因为爱因斯坦当时只考虑到等价原理，计算结果小了一半。1916年爱因斯坦根据完整的广义相对论对光线在引力场中的弯曲重新作了计算。他不仅考虑到太阳引力的作用，还考虑到太阳质量导致空间几何形变，光线的偏角为：α=1″.75R0/r，其中R0为太阳半径，r为光线到太阳中心的距离。 1919年日全食期间，英国皇家学会和英国皇家天文学会派出了由爱丁顿（A.S.FEddington）等人率领的两支观测队分赴西非几内亚湾的普林西比岛（Principe）和巴西的索布腊儿尔（Sobral）两地观测。经过比较，两地的观测结果分别为1″.61±0″.30和1″.98±0″.12。把当时测到的偏角数据跟爱因斯坦的理论预期比较，基本相符。这种观测精度太低，而且还会受到其他因素的干扰。人们一直在找日全食以外的可能。20世纪60年代发展起来的射电天文学带来了希望。用射电望远镜发现了类星射电源。1974年和1975年对类星体观测的结果，理论和观测值的偏差不超过百分之一。 3 光谱线的引力红移 广义相对论指出，在强引力场中时钟要走得慢些，因此从巨大质量的星体表面发射到地球上的光线，会向光谱的红端移动。爱因斯坦1911年在《引力对光传播的影响》一文中就讨论了这个问题。他以Φ表示太阳表面与地球之间的引力势差，ν0、ν分别表示光线在太阳表面和到达地球时的频率，得： （ν0 -ν）/ν=-Φ/c2=2×10－6. 爱因斯坦指出，这一结果与法布里（C.Fabry）等人的观 行星绕恒星作公转的比较 测相符，而法布里当时原来还以为是其它原因的影响。 1925年，美国威尔逊山天文台的亚当斯（W.S.Adams）观测了天狼星的伴星天狼A。这颗伴星是所谓的白矮星，其密度比铂大二千倍。观测它发出的谱线，得到的频移与广义相对论的预期基本相符。 1958年，穆斯堡尔效应得到发现。用这个效应可以测到分辨率极高的r射线共振吸收。1959年，庞德（R.V.Pound）和雷布卡（G.Rebka）首先提出了运用穆斯堡尔效应检测引力频移的方案。接着，他们成功地进行了实验，得到的结果与理论值相差约百分之五。 用原子钟测引力频移也能得到很好的结果。1971年，海菲勒（J.C.Hafele）和凯丁（R.E.Keating）用几台铯原子钟比较不同高度的计时率，其中有一台置于地面作为参考钟，另外几台由民航机携带登空，在1万米高空沿赤道环绕地球飞行。实验结果与理论预期值在10％内相符。1980年魏索特（R.F.C.Vessot）等人用氢原子钟做实验。他们把氢原子钟用火箭发射至一万公里太空，得到的结果与理论值相差只有±7×10-5。 4 雷达回波延迟 光线经过大质量物体附近的弯曲现象可以看成是一种折射，相当于光速减慢，因此从空间某一点发出的信号，如果途经太阳附近，到达地球的时间将有所延迟。1964年，夏皮罗（I.I.Shapiro）首先提出这个建议。他的小组先后对水星、金星与火星进行了雷达实验，证明雷达回波确有延迟现象。近年来开始有人用人造天体作为反射靶，实验精度有所改善。这类实验所得结果与广义相对论理论值比较，相差大约1％。用天文学观测检验广义相对论的事例还有许多。例如：引力波的观测和双星观测，有关宇宙膨胀的哈勃定律，黑洞的发现，中子星的发现，微波背景辐射的发现等等。通过各种实验检验，广义相对论越来越令人信服。然而，有一点应该特别强调：我们可以用一个实验否定某个理论，却不能用有限数量的实验最终证明一个理论；一个精确度并不很高的实验也许就可以推翻某个理论，却无法用精确度很高的一系列实验最终肯定一个理论。对于广义相对论的是否正确，人们必须采取非常谨慎的态度，严格而小心地作出合理的结论。 爱因斯坦第四假设 爱因斯坦的第四假设是其第一假设的推广。它可以这样表述：自然法则在所有的系中都是相同的。 不可否认，宣称所有系中的自然规律都是相同的比称只有在伽利略系中自然规律相同听起来更“自然”。但是我们不知道（外部）是否存在一个伽利略系。 这个原理被称作“广义相对论原理” 死亡电梯 让我们假想一个在摩天大楼内部自由下落的电梯，里面有一个蠢人。 这人让他的表和手绢同时落下。会发生什么呢？对于一个电梯外以地球为参照系的人来说，表、手绢、人 同一个天体在引力透镜效应下的四个成像 和电梯正以完全一致的速度下落。（让我们复习一下：依据等同性原理，引力场中物体的运动不依赖于它的质量。）所以表和地板，手绢和地板，人和表，人和手绢的距离固定不变。因此对于电梯里的人而言，表和手绢将呆在他刚才扔它们的地方。 如果这人给他的手表或他的手绢一个特定的速度，它们将以恒定的速度沿直线运动。电梯表现得象一个伽利略系。然而，这不会永远持续下去。迟早电梯都会撞碎，电梯外的观察者将去参加一个意外事故的葬礼。 现在我们来做第二个理想化的试验：我们的电梯远离任何大质量的物体。比如，正在宇宙深处。我们的大蠢蛋从上次事故中逃生。他在医院呆了几年后，决定重返电梯。突然一个生物开始拖动这个电梯。经典力学告诉我们：恒力将产生恒定的加速度。（对于非常高速的情况这条规律不适用。因为一个物体的质量随速度增加而增大。在我们这个试验中我们假定它是正确的。）由此，电梯在伽利略系中将有一个加速运动。 我们的天才傻瓜呆在电梯里让他的手绢和手表下落。电梯外伽利略系中的人认为手表和手绢会撞到地板上。这是由于地板因其加速度而向它们（手绢和手表）撞过来。事实上，电梯外的人将会发现表和地板以及手绢和地板间的距离以相同的速率在减小。另一方面，电梯里的人会注意到他的手表和手绢有相同的加速度，他会把这归因于引力场。 这两种解释看起来似乎一样：一边是一个加速运动，另一边是一致的运动和引力场。 让我们再做一个实验来证明引力场的存在。一束光通过窗户射在对面的墙上。我们的两位观察者是这样解释的： 在电梯外的人告诉我们：光通过窗户以恒定的速度（当然了！）沿一条直线水平地射进电梯，照在对面的墙上。但由于电梯正在向上运动，所以光线的照射点应在此入射点稍下的位置上。 电梯里的人说：我们处于引力场中。由于光没有质量，它不会受引力场的影响，它会恰好落在入射点正对的点上。 噢！问题出现了。两个观察者的意见不一致。然而在电梯里的人犯了个错误。他说光没有质量，但光有能量，而能量有一个质量（记住一焦耳能量的质量是：M=E/C^2）因此光将有一个向地板弯曲的轨迹，正象外部的观察者所说的那样。 由于能量的质量极小（C^2＝300，000，000×300，000，000），这种现象只能在非常强的引力场附近被观察到。这已经被证实：由于太阳的巨大质量，光线在靠近太阳时会发生弯曲。这个试验是爱因斯坦理论（广义相对论）的首次实证。 从所有这些实验中我们得出结论：通过引入一个引力场我们可以把一个加速系视为伽利略系。将其引伸，我们认为它对所有的运动都适用，不论它们是旋转的（向心力被解释为引力场）还是不均匀加速运动（对不满足黎曼（Riemann）条件的引力场通过数学方法加以转换）。你看，广义相对论与实践处处吻合。 上述例子取自 “L'évolution des idées en Physique” 爱因斯坦和 Leopold Infeld 著。 § 广义相对论-天体物理学上的应用 引力透镜 爱因斯坦十字：同一个天体在引力透镜效应下的四个成像 引力场中光线的偏折效应是一类新的天文现象的原因。当观测者与遥远的观测天体之间还存在有一个大质量天体，当观测天体的质量和相对距离合适时观测者会看到多个扭曲的天体成像，这种效应被称作引力透镜。受系统结构、尺寸和质量分布的影响，成像可以是多个，甚至可以形成被称作爱因斯坦环的圆环，或者圆环的一部分弧。最早的引力透镜效应是在1979年发现的，至今已经发现了超过一百个引力透镜。即使这些成像彼此非常接近以至于无法分辨——这种情形被称作微引力透镜——这种效应仍然可通过观测总光强变化测量到，很多微引力透镜也已经被发现。 引力透镜已经发展成为观测天文学的一个重要工具，它被用来探测宇宙间暗物质的存在和分布，并成为了用于观测遥远星系的天然望远镜，还可对哈勃常数做出独立的估计。引力透镜观测数据的统计结果还对星系结构演化的研究具有重要意义。 引力波天文学 艺术家的构想图：激光空间干涉引力波探测器LISA对脉冲双星的观测是间接证实引力波存在的有力证据（参见上文轨道衰减一节），然而对来自宇宙深处的引力波的直接观测始终未能实现，这也成为了相对论前沿研究的主要课题之一。现在已经有相当数量的地面引力波探测器投入运行，最著名的是GEO600、LIGO（包括三架激光干涉引力波探测器）、TAMA300和VIRGO；而美国和欧洲合作的空间激光干涉探测器LISA现在正处于开发阶段，其先行测试计划LISA探路者（LISAPathfinder 激光空间干涉引力波探测器LISA ）将于2009年底之前正式发射升空。 对引力波的探测将在很大程度上扩展基于电磁波观测的传统观测天文学的视野，人们能够通过探测到的引力波信号了解到其波源的信息。这些从未被真正了解过的信息可能来自于黑洞、中子星或白矮星等致密星体，可能来自于某些超新星爆发，甚至可能来自宇宙诞生极早期的暴涨时代的某些烙印，例如假想的宇宙弦。 黑洞和其它致密星体 基于广义相对论理论的计算机模拟一颗恒星坍缩为黑洞并释放出引力波的过程广义相对论预言了黑洞的存在，即当一个星体足够致密时，其引力使得时空中的一块区域极端扭曲以至于光都无法逸出。在当前被广为接受的恒星演化模型中，一般认为大质量恒星演化的最终阶段的情形包括1.4倍左右太阳质量的恒星演化为中子星，而数倍至几十倍太阳质量的恒星演化为恒星质量黑洞。具有几百万倍至几十亿倍太阳质量的超大质量黑洞被认为定律性地存在于每个星系的中心，一般认为它们的存在对于星系及更大的宇宙尺度结构的形成具有重要作用。 在天文学上致密星体的最重要属性之一是它们能够极有效率地将引力能量转换为电磁辐射。恒星质量黑洞或超大质量黑洞对星际气体和尘埃的吸积过程被认为是某些非常明亮的天体的形成机制，著名且多样的例子包括星系尺度的活动星系核以及恒星尺度的微类星体。在某些特定场合下吸积过程会在这些天体中激发强度极强的相对论性喷流，这是一种喷射速度可接近光速的且方向性极强的高能等离子束。在对这些现象进行建立模型的过程中广义相对论都起到了关键作用，而实验观测也为支持黑洞的存在以及广义相对论做出的种种预言提供了有力证据。 黑洞也是引力波探测的重要目标之一：黑洞双星的合并过程可能会辐射出能够被地球上的探测器接收到的某些最强的引力波信号，并且在双星合并前的啁啾信号可以被当作一种“标准烛光”从而来推测合并时的距离，并进一步成为在大尺度上探测宇宙膨胀的一种手段。而恒星质量黑洞等小质量致密星体落入超大质量黑洞的这一过程所辐射的引力波能够直接并完整地还原超大质量黑洞周围的时空几何信息。 宇宙学 威尔金森微波各向异性探测器（WMAP）拍摄的全天微波背景辐射的温度涨落现代的宇宙模型是基于带有宇宙常数的爱因斯坦场方程建立的，宇宙常数的值对大尺度的宇宙动力学有着重要影响。 这个经修改的爱因斯坦场方程具有一个各向同性并均匀的解：弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规，在这个解的基础上物理学家建立了从一百四十亿年前炽热的大爆炸中演化而来的宇宙模型。只要能够将这个模型中为数不多的几个参数（例如宇宙的物质平均密度）通过天文观测加以确定，人们就能从进一步得到的实验数据检验这个模型的正确性。这个模型的很多预言都是成功的，这包括太初核合成时期形成的化学元素初始丰度、宇宙的大尺度结构以及早期的宇宙温度在今天留下的“回音”：宇宙微波背景辐射。 从天文学观测得到的宇宙膨胀速率可以进一步估算出宇宙中存在的物质总量，不过有关宇宙中物质的本性还是一个有待解决的问题。现在估计宇宙中大约有90%以上的物质都属于暗物质，它们具有质量（即参与引力相互作用），但不参与电磁相互作用，即它们无法（通过电磁波）直接观测到。目前在已知的粒子物理或其他什么理论的框架中还没有办法对这种物质做出令人满意的 一个无限的静态闵可夫斯基宇宙的彭罗斯图 描述。另外，对遥远的超新星红移的观测以及对宇宙微波背景辐射的测量显示，我们的宇宙的演化过程在很大程度上受宇宙常数值的影响，而正是宇宙常数的值决定了现在宇宙的加速膨胀。换句话说，宇宙的加速膨胀是由具有非通常意义下的状态方程的某种能量形式决定的，这种能量被称作暗能量，其本性也仍然不为所知。 在所谓暴涨模型中，宇宙曾在诞生的极早期（～10-33秒）经历了剧烈的加速膨胀过程。这个在于二十世纪八十年代提出的假说是由于某些令人困惑并且用经典宇宙学无法解释的观测结果而提出的，例如宇宙微波背景辐射的高度各向同性，而现在对微波背景辐射各向异性的观测结果是支持暴涨模型的证据之一。然而，暴涨的可能的方式也是多样的，现今的观测还无法对此作出约束。一个更大的课题是关于极早期宇宙的物理学的，这涉及到发生在暴涨之前的、由经典宇宙学模型预言的大爆炸奇点。对此比较有权威性的意见是这个问题需要由一个完备的量子引力理论来解答，而这个理论至今还没有建立（参加下文量子引力）。 § 广义相对论-进阶概念 因果结构和全局几何 一个无限的静态闵可夫斯基宇宙的彭罗斯图在广义相对论中没有任何有静止质量的物体能够追上或超过一束光脉冲，即是说发生于某一点的事件A在光从那一点传播到空间中任意位置X之前无法对位置X产生影响。因此，一个时空中所有光的世界线（零性测地线）包含了有关这个时空的关键因果结构信息。描述这种因果结构的是彭罗斯-卡特图，在这种图中无限大的空间区域和时间间隔通过共形变换被“收缩”（数学上称为紧化）在可被容纳的有限时空区域内，而光的世界线仍然和在闵可夫斯基图中一样用对角线表示。 彭罗斯和其他研究者注意到因果结构的重要性，从而发展了所谓全局几何。全局几何中研究的对象不再是爱因斯坦场方程的一个个特定解（或一族解），而是运用一些对所有测地线都成立的关系，如Raychaudhuri方程，以及对物质本性的非特异性假设（通常用所谓能量条件的形式来表述）来推导普适性结论。 视界 在全局几何下可以证明有些时空中存在被称作视界的分界线，它们将时空中的一部分区域隔离起来。这样的最著名例子是黑洞：当质量被压缩到空间中的一块足够小的区域中后（相关长度为史瓦西半径），没有光子能从内部逸出。而由于任何有质量的粒子速度都无法超过光速，黑洞内部的物质也被封闭在视界内。不过，从视界之外到视界之内的通道依然是存在的，这表明黑洞的视界作为一种分界线并不是物理性质的屏障。 一个旋转黑洞的能层，在从旋转黑洞抽取能量的过程中扮演着重要角色早期的黑洞研究主要依赖于求得爱因斯坦场方程的精确解，著名的解包括球对称的史瓦西解（用来描述静态黑洞）和反对称的克尔解（用来描述旋转定态黑洞，并由此引入了能层等有趣的属性）。而后来的研究通过全局几何揭示了更多的关于黑洞的普适性质：研究表明经过一段相当长的时间后黑洞都逐渐演化为一类相当简单的可用十一个参数来确定的星体，包括能量、动量、角动量、某一时刻的位置和所带电荷。这一性质可归纳为黑洞的唯一性定理：“黑洞没有毛发”，即黑洞没有像人类的不同发型那样的不同标记。例如，星体经过引力坍缩形成黑洞的过程非常复杂，但最终形成的黑洞的属性却相当简单。 更值得一提的是黑洞研究已经得到了一组制约黑洞行为的一般性定律，这被称作黑洞（热）力学，这些定律与热力学定律有很强的类比关系。例如根据黑洞力学的第二定律，一个黑洞的视界面积永不会自发地随着时间而减少，这类似于一个热力学系统的熵；这个定律也决定了通过经典方法（例如，彭罗斯过程）不可能从一个旋转黑洞中无限度地抽取能量。这些都强烈暗示了黑洞力学定律实际是热力学定律的一个子集，而黑洞的表面积和它的熵成正比。从这个假设可以进一步修正黑洞力学定律。例如，由于黑洞力学第二定律是热力学第二定律的一部分，则可知黑洞的表面积也有可能减小，只要有某种其它过程来保证系统的总熵是增加的。而热力学第三定律认为不存在温度为绝对零度的物体，可以进一步推知黑洞应该也存在热辐射；半经典理论计算表明它们确实存在有热辐射，在这个机制中黑洞的表面引力充当着普朗克黑体辐射定律中温度的角色，这种辐射称作霍金辐射（参见下文量子理论一节）。 广义相对论还预言了其他类型的视界模型：在一个膨胀宇宙中，观察者可能会发现过去的某些区域不能被观测（所谓“粒子视界”），而未来的某些区域不能被影响（事件视界）。即使是在平直的闵可夫斯基时空中，当观察者处于一个加速的参考系时也会存在视界，这些视界也会伴随有半经典理论中的盎鲁辐射。 奇点 广义相对论的另一个普遍却又令人困扰的特色问题是时空的分界线——奇点的出现。时空可以通过沿着类时和类光的测地线来探索，这些路径是光子及其他所有粒子在自由落体运动中的可能轨迹，但爱因斯坦场方程的某些解具有“粗糙的边缘”——这被称作时空奇点，这些奇点上类时或类光的测地线会突然中止，而对于这些奇点没有定义好的时空几何来描述。需要说明的是，“奇点”往往可能并不是一个“点”：那些场方程的解的“粗糙边缘”在既有坐标系下，不仅可能是一个“点”，还可以以其他几何形式出现（比如克尔黑洞的“奇环”等）。一般意义上的奇点是指曲率奇点，这是说在这些点上描述时空曲率的几何量，例如里奇张量为无限大（曲率奇点是相对所谓坐标奇点而言的，坐标奇点本质上不属于奇点的范畴：有些度规在某个特定坐标下会产生无穷大，但本质上这些点不具有奇性，在其他合适的坐标下是光滑的，也不会产生无穷大的曲率张量）。描述未来的奇点（世界线的终结）的著名例子包括永远静态的史瓦西黑洞内部的奇点，以及永远旋转的克尔黑洞内部的环状奇点。弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规，以及其他描述宇宙的时空几何都具有过去的奇点（世界线的开端），这被称作大爆炸奇点，而有些还具有未来的奇点（大挤压）。 考虑到这些模型都是高度对称从而被简化的，人们很容易去猜测奇点的出现是否只是理想状态下的不自然产物。然而著名的由全局几何证明的奇点定理指出，奇点是广义相对论的一个普遍特色结果，并且任何有质量的实体发生引力坍缩并达到一个特定阶段后都会形成奇点，而在一系列膨胀宇宙模型中也一样存在奇点。不过奇点定理的内容基本没有涉及到奇点的性质，这些关于确定奇点的一般结构（例如所谓BKL假说）的问题是当前相关研究的主要课题。另一方面，由于在对于物理规律的破坏方面而言，一个被包裹于视界之中的奇点被认为要好过一个“裸”的奇点，故而宇宙监督假说被提出，它认为所有未来的实际奇点（即没有完美对称性的具有实际性质的物体形成的奇点）都会被藏在视界之内，从而对外面对观察者不可见，即自然界憎恨裸奇点。尽管还没有实际证据证明这一点，有数值模拟的结果支持这一假说的正确性。 演化方程 每一个爱因斯坦场方程的解都是一个宇宙，这里的宇宙含义既包括了整个空间，也包括了过去与未来——它们并不单单是反映某些事物的“快照”，而是所描述的时空的完全写真。每一个解在其专属的特定宇宙中都能描述任意时间和任意位置的时空几何和物质状态。出于这个表征，爱因斯坦的理论看上去与其他大多数物理理论有所不同：大多数物理理论都需要指明一个物理系统的演化方程（例如量子力学中的埃伦费斯特定理），即如果一个物理系统在给定时刻的状态已知，其演化方程能够允许描述系统在过去和未来的状态。爱因斯坦理论中的引力场和其他场的更多区别还在于前者是自身相互作用的（是指它在没有其他场出现时仍然还是非线性的），并且不具有固定的背景结构（在宇宙尺度上会发生演化）。 为了更好地理解爱因斯坦场方程这个与时间有关的偏微分方程，可以将它写成某种能够描述宇宙随时间演化的形式。这种形式被称作“3+1”分解，其中时空被分为三维空间和一维时间。最著名的形式叫做ADM形式，在这种分解下广义相对论的时空演化方程具有良好的性质：在适当的初始条件给定的情形下方程有解并且是唯一的。场方程的“3+1”分解形式是数值相对论的研究基础。 全局和准局部量 演化方程的观念与广义相对论性物理中的另一个方面紧密联系：在爱因斯坦的理论中，一个系统的总质量（或能量）这个看似简单的概念无法找到一种普遍性的定义。其原因在于，引力场原则上并不像其他的场那样具有可以局部化的能量。 尽管如此，试图通过其他途径来定义一个系统的总质量还是可能的，在经典物理中，质量（或能量）的定义可以来自时间平移不变性的守恒量，或是通过系统的哈密顿形式。在广义相对论中，从这两种途径出发可以分别得到如下质量的定义： * 柯玛质量：从类时的Killing矢量出发通过柯玛积分得到的在时间平移不变性下的守恒量，表现为一个静态时空的总能量； * ADM质量：在一个渐近平直时空中建立广义相对论的哈密顿形式，从中定义系统的总能量。 如果将一个系统的总质量中被引力波携带至无限远处的能量除去，得到的结果叫做零性无限远处的邦迪质量。这些定义而来的质量被舍恩和丘成桐的正质量定理证明是正值，而动量和角动量也具有全局的相应定义。在这方面的研究中还有很多试图建立所谓准局部量的尝试，例如仅通过一个孤立系统所在的有限空间区域中包含的物理量来构造这个孤立系统的质量。这类尝试寄希望于能够找到一个更好地描述孤立系统的量化方式，例如环假说的某种更精确的形式。 广义相对论-和量子理论的关系 如果说广义相对论是现代物理学的两大支柱之一，那么量子理论作为我们借此了解基本粒子以及凝聚态物理的基础理论就是现代物理的另一支柱。然而，如何将量子理论中的概念应用到广义相对论的框架中仍然是一个未能解决的问题。 弯曲时空中的量子场论 作为现代物理中粒子物理学的基础，通常意义上的量子场论是建立在平直的闵可夫斯基时空中的，这对于处在像地球这样的弱引力场中的微观粒子的描述而言是一个非常好的近似。而在某些情形中，引力场的强度足以影响到其中的量子化的物质但不足以要求引力场本身也被量子化，为此物理学家发展了弯曲时空中的量子场论。这些理论借助于经典的广义相对论来描述弯曲的背景时空，并定义了广义化的弯曲时空中的量子场理论。通过这种理论，可以证明黑洞也在通过黑体辐射释放出粒子，这即是霍金辐射，并有可能通过这种机制导致黑洞最终蒸发。如前文所述，霍金辐射在黑洞热力学的研究中起到了关键作用。 量子引力 物质的量子化描述和时空的几何化描述之间彼此不具有相容性，以及广义相对论中时空曲率无限大（意味着其结构成为微观尺度）的奇点的出现，这些都要求着一个完整的量子引力理论的建立。这个理论需要能够对黑洞内部以及极早期宇宙的情形做出充分的描述，而其中的引力和相关的时空几何需要用量子化的语言来叙述。尽管物理学家为此做出了很多努力，并有多个有潜质的候选理论已经发展起来，至今人类还没能得到一个称得上完整并自洽的量子引力理论。 一个卡拉比-丘流形的投影，由弦论所提出的紧化额外维度的一种方法量子场论作为粒子物理的基础已经能够描述除引力外的其余三种基本相互作用，但试图将引力概括到量子场论的框架中的尝试却遇到了严重的问题。在低能区域这种尝试取得了成功，其结果是一个可被接受的引力的有效（量子）场理论，但在高能区域得到的模型是发散的（不可重整化）。 圈量子引力中的一个简单自旋网络 试图克服这些限制的尝试性理论之一是弦论，在这种量子理论中研究的最基本单位不再是点状粒子，而是一维的弦。弦论有可能成为能够描述所有粒子和包括引力在内的基本相互作用的大统一理论，其代价是导致了在三维空间的基础上生成六维的额外维度等反常特性。在所谓第二次超弦理论革新中，人们猜测超弦理论，以及广义相对论与超对称的统一即所谓超引力，能够构成一个猜想的十一维模型的一部分，这种模型叫做M理论，它被认为能够建立一个具有唯一性定义且自洽的量子引力理论。 另外一种尝试来自于量子理论中的正则量子化方法。应用广义相对论的初值形式（参见上文演化方程一节），其结果是惠勒-得卫特方程（其作用类似于薛定谔方程）。虽然这个方程在一般情形下定义并不完备，但在所谓阿西特卡变量的引入下，从这个方程能够得到一个很有前途的模型：圈量子引力。在这个理论中空间是一种被称作自旋网络的网状结构，并在离散的时间中演化。 取决于广义相对论和量子理论中的哪些性质可以被接受保留，并在什么能量量级上需要引入变化，对量子引力的尝试理论还有很多，例如动力三角剖分、因果组合、扭量理论以及基于路径积分的量子宇宙学模型。 所有这些尝试性候选理论都仍有形式上和概念上的主要问题需要解决，而且它们都在面临一个共同的问题，即至今还没有办法从实验上验证量子引力理论的预言，进而无法通过多个理论之间某些预言的不同来判别其正确性。在这个意义上，量子引力的实验观测还需要寄希望于未来的宇宙学观测以及相关的粒子物理实验逐渐成为可能。 当前进展 在引力和宇宙学的研究中，广义相对论已经成为了一个高度成功的模型，至今为止已经通过了每一次意义明确的观测和实验的检验。然而即便如此，仍然有证据显示这个理论并不是那么完善的：对量子引力的寻求以及时空奇点的现实性问题依然有待解决；实验观测得到的支持暗物质和暗能量存在的数据结果也在暗暗呼唤着一种新物理学的建立；而从先驱者号观测到的反常效应也许可以用已知的理论来解释，也许则真的是一种新物理学来临的预告。不过，广义相对论之中仍然充满了值得探索的可能性：数学相对论学家正在寻求理解奇点的本性，以及爱因斯坦场方程的基本属性；不断更新的计算机正在进行黑洞合并等更多的数值模拟；而第一次直接观测到引力波的竞赛也正在前进中，人类希望借此能够在比至今能达到的强得多的引力场中创造更多检验这个理论的正确性的机会。在爱因斯坦发表他的理论九十多年之后，广义相对论依然是一个高度活跃的研究领域。 § 相关连接 耶鲁大学教学视频：狭义与广义相对论来自Google Video 相对论：狭义与广义的理论 PDF 广义相对论教学视频 来自麻省理工学院教授Edmund Bertschinger 广义相对论系列讲义 来自2006年庞加莱研究所（入门和进阶课程） 广义相对论教程 作者约翰·贝伊兹 Sean Carroll．Lecture Notes on General Relativity．Arxiv． 加州理工学院的教授Sean Carroll所编写的广义相对论课堂讲义，这是它的PDF版本。 |
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