词条 | 化圆为方问题 |
释义 | § 概述 化圆为方问题 化圆为方问题(problem of quadrature of circle)是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题之一,即求作一个正方形,使其面积等于已知圆的面积。其难度 在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺(没有刻度,只能作直线的 尺)和圆规。最早研究这问题的是安纳萨戈拉斯,他因「不敬神」的罪名被捕入狱,在狱中 潜心研究化圆为方问题,可惜他的结果失传了。以后著名的研究者更有希波克拉底、安提丰 、希皮亚斯等人。 [1] § 研究 标尺作图问题曾吸引许多人研究,但无一成功。化圆为方问题,实际上就是用直尺圆规作出线段π的问题。1882年法国数学家林 德曼(1852-1939)证明了π是超越数,同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能 的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位,则标尺可作的线段长必为代数数 。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段,但√π并非代数数,故此标尺不可作。 § 记载 二千年间,尽管对化圆为方问题上的研究 没有成功,但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰(公元前430)为解决此问题而提出的 「穷竭法」,是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形(或正6边形),然后每次 将边数加倍,得内接8、16、32、…边形,他相信「最后」的正多边形必与圆周重合, 这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的,但却提供了求圆面积的近似方法,成为阿基米德计算圆周率方法的先导,与中国刘徽的割圆术不谋而合,对穷竭法等科学方法的建立产生 直接影响。 § 条件 古代几何中,有3个著名的几何难题,其中之一是化圆为方问题,这个问题自提出后,经历了许多人的手,在给定的条件下,没有一个能令人信服地解决这个问题。 19世纪,在人们提示了数的本质后,才认识到问题的症结这所在,原来的圆的面积为 (R为圆的半径),其中 是一个超越数,它是不能精确测得的,假设化圆为方的话,其边长为m,则问题就是要:这个问题由于 的缘故而受到了挫折,成为一个千古难题。 数学的研究,有一个根本的东西就是条件,化贺,圆为方问题不能解的条件,就是几何中只允许使用圆规和无刻度的直尺,指望能通过有限次的作图,把圆的面积化为等积的正方形,如果我们取消了这个限制,就是改换条件,这个问题不仅可以解决,而且解决的方法还不只一种。 § 巧妙办法 15世纪著名画家达.芬奇曾有一个很巧妙的办法在不加圆规,直尺限制条件下实现了化圆为方.他的作法是:如图 取半径为R的直圆柱,其高取为R/2,将其沿侧棱剪开,得一矩形,这个矩形的一边长为R/2,另一边长为 ,它的面积恰好为 ,这一步他实现了把圆化为矩形的目的.紧接着,再以R/2和 为基础,作这两条线的比例中项,以此为边作正方形,其面积恰好为 ,这一步,他实现了把圆化为矩形的目的.紧接着,再以R/2和 为基础,作这两条线的比例中项,以此为边作正方形,其面积恰好为: 用已知圆为底,圆半径的1/2为高的圆柱,在平面上滚动一周,所得的矩形,其面积恰为圆的面积,所以所得矩形的面积=r/2.2πr=πr2 ,然后再将矩形化为等积的正方形即可。[2] |
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