| 词条 | 化圆为方问题 |
| 释义 | § 概述 化圆为方问题 化圆为方问题（problem of quadrature of circle）是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题之一，即求作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积。其难度 在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的 尺）和圆规。最早研究这问题的是安纳萨戈拉斯，他因「不敬神」的罪名被捕入狱，在狱中 潜心研究化圆为方问题，可惜他的结果失传了。以后著名的研究者更有希波克拉底、安提丰 、希皮亚斯等人。 [1] § 研究 标尺作图问题曾吸引许多人研究，但无一成功。化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出线段π的问题。１８８２年法国数学家林 德曼（１８５２－１９３９）证明了π是超越数，同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能 的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位，则标尺可作的线段长必为代数数 。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段，但√π并非代数数，故此标尺不可作。 § 记载 二千年间，尽管对化圆为方问题上的研究 没有成功，但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰（公元前４３０）为解决此问题而提出的 「穷竭法」，是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形（或正６边形），然后每次 将边数加倍，得内接８、１６、３２、…边形，他相信「最后」的正多边形必与圆周重合， 这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的，但却提供了求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导，与中国刘徽的割圆术不谋而合，对穷竭法等科学方法的建立产生 直接影响。 § 条件 古代几何中，有3个著名的几何难题，其中之一是化圆为方问题，这个问题自提出后，经历了许多人的手，在给定的条件下，没有一个能令人信服地解决这个问题。 19世纪，在人们提示了数的本质后，才认识到问题的症结这所在，原来的圆的面积为 （R为圆的半径），其中 是一个超越数，它是不能精确测得的，假设化圆为方的话，其边长为m，则问题就是要：这个问题由于 的缘故而受到了挫折，成为一个千古难题。 数学的研究，有一个根本的东西就是条件，化贺，圆为方问题不能解的条件，就是几何中只允许使用圆规和无刻度的直尺，指望能通过有限次的作图，把圆的面积化为等积的正方形，如果我们取消了这个限制，就是改换条件，这个问题不仅可以解决，而且解决的方法还不只一种。 § 巧妙办法 15世纪著名画家达.芬奇曾有一个很巧妙的办法在不加圆规，直尺限制条件下实现了化圆为方．他的作法是：如图 取半径为R的直圆柱，其高取为R/2，将其沿侧棱剪开，得一矩形，这个矩形的一边长为R/2，另一边长为 ，它的面积恰好为 ，这一步他实现了把圆化为矩形的目的．紧接着，再以R/2和 为基础，作这两条线的比例中项，以此为边作正方形，其面积恰好为 ,这一步，他实现了把圆化为矩形的目的．紧接着，再以R/2和 为基础,作这两条线的比例中项，以此为边作正方形，其面积恰好为： 用已知圆为底，圆半径的１／２为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，所以所得矩形的面积＝ｒ／２．２πｒ＝πｒ2 ，然后再将矩形化为等积的正方形即可。[2] |
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