| 词条 | 代数基本定理 |
| 释义 | § 概念 （代数学基本定理）任何复系数一元 n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1) 由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）. § 证明历史 代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。 据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。 迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。大数学家 J.P. 塞尔 曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。 他在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。 复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。 该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完整。接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严格的。 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的(1799年在哥廷根大学的博士论文)，基本思想如下： 设f(z)为n次实系数多项式，记z=x+yi(x、y∈R)，考虑方根：? f(x+yi)=u(x、y)+v(x、y)i=0? 即u(x、y)=0与v(x、y)=0? 这里u(x、y)=0 与v(x、y)=0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线C1、C2，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点z0=a+bi，从而得出u(a、b)=v(a、b)=0，即f(a+bi)=0，因此z0便是方程f(z)=0的一个根，这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准看依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂，正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。 高斯后来又给出了另外三个证法，其中第四个证法是他71岁公布的，并且在这个证明中他允许多项式的系数是复数。 § 在复变函数论中的证明方法 在复变函数论中， 有相当优美的传统证明方法。 设f(z)是n次多项式。 如果f(z)=0没有根， 那么g(z)=1/f(z)是复平面上全纯函数。由于f(z)是多项式，所以可证g(z)是有界的。 由刘维尔定理，一个复平面上的全纯有界函数必为常数。 从而g是常值函数，亦即f是常值函数， 矛盾！故得证代数基本定理。 此定理也可以用关于留数公式的儒歇定理来证。 但本质上都是拓扑的。 § 简介 关于多项式根的定理,即一个次数不小于1的复系数多项式ƒ(x)在复数域内有一根。由此推出，一个n(≥1)次复系数多项式ƒ(x)在复数域内恰有n个根(重根按重数计算)。这条定理形式上是代数的,但是它的证明却离不开复数域的解析性质。C.F.高斯于1799年首先给出这个定理的一个证明。 20世纪以前，代数研究的对象，如矩阵、二次型和各种超复数系都是建立在实数域或复数域之上的，当时代数基本定理起着核心的作用。20世纪以来，随着代数学的进一步发展，抽象代数结构，如群、环、模、域相继出现，于是代数基本定理逐渐失去了它的原有的地位。 代替代数基本定理的是根的存在定理:设F是任一域。ƒ（x）是多项式环F【x】中任一个不可约多项式，则存在F的一个扩域K,使得ƒ（x）在K内有一根。由此得到分裂域的存在定理：对于任一域F和任一n（n≥1）次多项式ƒ(x)∈F【x】，则存在F的一个代数扩域K使得ƒ(x)在K内完全分解ƒ(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αn),而且K可由添加α1，α2，…，αn到F上而得到。更进一步，最后可得到F上代数闭包的存在定理：F上存在一个代数扩张Ω使得Ω【x】内每个次数不小于1的多项式在Ω内完全分解。Ω称为F上的代数闭包。而且 F上任何两个代数闭包是F同构的，因而在同构意义下Ω由F 惟一决定。Ω本身是一个代数闭域。复数域就是一个代数闭域。现在Ω正起着复数域在历史上所起过的作用。 § 概述 任何n（n>0）次多项式在复数域中至少有一个根。 一元一次方程有且只有一个根，一元二次方程在复数域中有且只有两个根，因此，人们自然研究一元n次方程在复数域中有几个根。此外，当初的积分运算中采用部分分式法也引起了与此有关的问题：是不是任何一个实系数多项式都能分解成一次因式的积，或分解成实系数的一次因式和二次因式的积？这样的分解，关键证明代数基本定理。 代数基本定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但他的证明是首先默认了数学分析中一条明显的引理：定义在有限闭区间上的连续函数一定在某一点取得最小值，而这个引理在达朗贝尔的研究100年以后才得到证明。接着，欧拉也给出了一个证明，但有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了代数基本定理，后经高斯分析，发现他的证法中把实数的尚未证明其真实性的各种性质应用了，所以该证明仍然是很不严格的。 1799年，高斯在他的博士论文中第一个严格证明了代数基本定理，其基本思路如下：设f (z)为n次实系数多项式，记z = x + yi (x, y为实数)，考察方程：f (x + yi) = u (x, y) + v (x, y)i = 0 即u (x, y) = 0与v (x, y) = 0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点，从而得出 u (a, b) = v (a, b) = 0 即f (a + bi) = 0，故此便是代数方程f (z)的一个根。这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准来看，依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂的。 高斯后来又给出了另外三个证明方法，第二个证法中，不依靠几何的论据，但是却应用了当时未经证明的命题：设多项式p (x) 在x的两个不同的值之间没有零点，则它在这两个值处不可能改变符号。高斯在71岁时还公布了第四个证法，在这个证法中，他容许多项式的系数是复数。应指出，在许多证法中，这个定理都不是在最一般的情况下证明的，都是假定了多项式中的文字系数表示实数，但整个定理却包括复系数的情况。 复变函数论发展后，代数基本定理已作为其他定理的推论。代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。 § 书籍介绍 基本资料 《代数基本定理》 作 者： （美）本杰明，（美）杰哈德 著 出 版 社： 清华大学出版社 出版时间： 2009-11-1开 本： 16开 I S B N ： 9787302214793 定价：￥34.0 内容简介 本书对数学中最重要的定理——代数基本定理给出了六种证明，方法涉及到分析、代数与拓扑等数学分支。全书以一个问题为主线，纵横数学的几乎所有领域，结构严谨、文笔流畅、浅显易懂，适合高年级大学生、研究生自学和讨论，特别适合于用作短学期教材或数学选修类课程教材。 目录 1 Introduction and Historical Remarks Complex Numbers 2.1 Fields and the Real Field 2.2 The Complex Number Field 2.3 Geometrical Representation of Complex Numbers 2.4 Polar Form and Euler's Identity 2.5 DeMoivre's Theorem for Powers and Roots Exercises 3 Polynomials and Complex Polynomials 3.1 The King of Polynomials over a Field 3.2 Divisibility and Unique Factorization of Polynomials 3.3 Roots of Polynomials and Factorization 3.4 Real and Complex Polynomials 3.5 The Fundamental Theorem of Algebra: Proof One 3.6 Some Consequences of the Fundamental Theorem Exercises 4 Complex Analysis and Analytic Functions 4.1 Complex Functions and Analyticity 5 Complex Integration and Cauchy's Theorem 6 Fields and Field Extensions 7 Galois Theory 8 Topology and Topological Spaces Algebraic Topology and the Final Proof Appendix A: A Version of Gauss's Original Proof Appendix B: Cauchy's Theorem Revisited Appendix C: Three Additional Complex Analytic Proofs of the Fundamental Theorem of Algebra Appendix D: Two More Topological Proofs of the Fundamental Theorem of Algebra Bibliography and References Index [1] § 参考书目 范·德·瓦尔登著，丁石孙、曾肯成、郝炳新等译：《代数学》,第1册,科学出版社,北京，1963。(B.L.vander Waerden,Algebra,Vol.1,Springer-Verlag,Berlin,1955.) |
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