克莱姆法则可以很有效地使用2×2矩阵来解决以下数式。
已知:
使用矩阵来表示时就是:
x和y可以从克莱姆法则中得出:
以及 用3×3矩阵的情况亦差不多。
已知:
当中的矩阵表示为:
x、y和z可以被求得:
、 以及
克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。
先考虑两条等式和。因为u和v都是没相关的变数,我们可定义和。
找出一条等式适合是克莱姆法则的简单应用。
首先,我们要计算F、G、x和y的导数:
将dx和dy代入dF和dG,可得出:
因为u和v都没有关系,所以du和dv的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成:
现在用克莱姆法则就可得到:
用两个雅可比矩阵来表示的方程:
用类似的方法就可以找到、以及。