克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。

克莱姆法则(克莱姆推算 奇异情况)

内容要点(n元线性方程组的概念 定理)

创立人克莱姆

应用

克莱姆法则

克莱姆推算

假若有n个未知数，n个方程组成的方程组：

a11X1+a12X2+．．．+a1nXn = b1,

a21X1+a22X2+．．．+a2nXn = b2,

．．．．．．

an1X1+an2X2+．．．+annXn = bn.

或者写成矩阵形式为Ax=b,其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。

而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|,其中Ai〔i = 1，2，……，n〕是矩阵A中第i列的a 1i，a 2i，……a ni （即第i列）依次换成b1，b2，……bn所得的矩阵。

克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度可以达到O(n^3)，这个时间复杂度同其它常用的线性方程组求解方法，比如高斯消元法相当。

奇异情况

当b1,b2,...,bn不全为0时，方程组为非齐次性方程组。

系数矩阵A非奇异时，或者说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；

系数矩阵A奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解。

当b1=b2=...=bn=0时，方程组为齐次性方程组。

若系数矩阵A非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，我们通常称这个解为平凡解。

若齐次线性方程组有非零解，系数矩阵必然奇异，或者说对应的系数行列式必为0。

其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。

内容要点

n元线性方程组的概念

从三元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。

在引入克莱姆法则之前，先引入有关n元线性方程组的概念。

含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。当其右端的常数项不全为零时，线性方程组(1)称为非齐次线性方程组，当全为零时，线性方程组(2)称为齐次线性方程组，即：

线性方程组(1)的系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即

定理

定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式 D≠0, 则线性方程组(1)有唯一解,其解为

(3)

其中是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.

克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.

定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D≠0

创立人克莱姆

克莱姆（Cramer, Gabriel,瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努 利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信 中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望 重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。 主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一 次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。

应用

克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。

先考虑两条等式和。因为u和v都是没相关的变数，我们可定义和。

找出一条等式适合是克莱姆法则的简单应用。

首先，我们要计算F、G、x和y的导数：

将dx和dy代入dF和dG，可得出：

因为u和v都没有关系，所以du和dv的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：

现在用克莱姆法则就可得到：

用两个雅可比矩阵来表示的方程：

用类似的方法就可以找到、以及。