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表达形式

推导过程

简介

开普勒第三定律（Kepler's third law of planetary motion）是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。

来源

开普勒第三定律也称调和定律。1619年，开普勒（Kepler）出版了《宇宙的和谐》一书，在书中介绍了第三定律。其中的K只与中心天体有关，与围绕其运动的行星无任何关系。简言之，围绕同一天体运行的行星所计算出来的K相等。

表达形式

若用R代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则

（R^3)/(T^2)=k=GM/(4π^2)（M为中心天体质量）

比值k是一个与行星无关的常量,只与中心体质量有关, M相同则K值相同.

R1:R2=(T1:T2)^2/3

T1:T2=(R1:R2)^3/2　右图既推导出的公式, a为是行星公转轨道半长轴,T是行星公转周期,K既是比例常数。第三定律的更精确形式为：T1^2/R1^3（M+m1）=T2^2/R2^3（M+m2）（m1、m2为两个相应的行星质量）

推导过程

把星球作的运动看成匀速圆周运动。这时，万有引力提供向心力。用质量、角速度、轨道半径表示出向心力，这样就可以写出一个方程.再将方程中的角速度用周期、圆周率表示。再用绕同一中心天体运的星体列一个方程，两式相比就可证明开普勒第三定律：

万有引力F=GMm/（R^2）（1）

向心力Fn=mv^2/R（2）

（1）=（2），求出v^2=GM/R（3）

又T^2=（2πR/v）^2（4）

将（3）代入（4）即可

R^3/T^2=K

=GM/4π^2=R^3/T^2

R为运行轨道半径

T=行星公转周期

K=常数=GM/4π^2

这种方法只局限于匀速圆周运动的轨道模型，但现实中的星体运动的轨道都为椭圆，于是便有以下推导：

利用微元，矢径R在很小的Δt时间内，扫过面积为ΔS，矢径R与椭圆该点的切线方向夹角为α，椭圆的弧长为ΔR。在Δt→0时，扫过面积可以看作为三角形，

ΔS=1/2*R*ΔR*sinα

面积速度为 ΔS/Δt=1/2R*ΔR*sinα/Δt=1/2*Rv*sinα

各行星绕太阳运行周期为T

设椭圆半长轴为a、半短轴为b、太阳到椭圆中心的距离为c

则行星绕太阳运动的周期T=πab/(1/2*r*v*sinα)。

选近日点A和远日点B来研究，由ΔS相等可得1/2*vA*RA=1/2*rB*RB

从近日点运动到远日点的过程中，根据机械能守恒定律得：

1/2*m*vA^2-GMm/rA=1/2*mvB^2-GMm/rB

得：vA^2=2GMrb/（（rA+rB）/rA）

由几何关系得：rA=a-c rB=a+c a^2=b^2+c^2

所以 vA=√（GM/a）*√（rB/rA）

S/△t=1/2*rA*vA=1/2*√（GM/a）*√（rA*rB）=b/2*√（GM/a）

T=π*ab/(△S/△t)=2πa*√（a/GM）

整理得T^2/a^3=4π^2/GM