n次方根

介绍一下开方公式(例1 例2 例3)

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n次方根

如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根。（n-th root）。当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根。

求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数

10a2b3+5ab4。

而这些3ab（a+b）=3abD=S；5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S，这个S就是高次方程解的奥秘。

在无穷大次方中，你知道了S，那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。

介绍一下开方公式

X（n+1）=Xn+(A/Xn^(k-1)-Xn)1/K（1）

其中n，n+1是下角标，Xn^(k-1)表示Xn的"k-1"次方。例如

开立方公式：

设A = X^3,求X.称为开立方。 开立方有一个标准的公式：

X(n+1)=Xn+(A/Xn^2-Xn)1/3 （2）

(n，n+1是下角标）

例1

如，A=5，,即求

5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：

第一步

X1=1.9+（5/1.9^2-1.9)1/3=1.7。输出值小於输入值，负反馈。

即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7283472。即取2位数值,，即1.7。

第二步

X2=1.7+（5/1.7^2-1.7)1/3=1.71。输出值大於输入值，正反馈。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

第三步

X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.负反馈。

第四步

X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099正反馈。

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;

当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。

如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即

X(n + 1) = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2.（3）

例2

如，A=5：

5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；

即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.236。取3位数。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

顺便介绍开5次方公式：

X(n+1)=Xn+(A/X^4-Xn)1/5 .（4）

例3

如：A=5;

5介入1的5次方至2的5次方之间。2的5次方是32，5靠近1的5次方。初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9.例如我们取中间值1.4；

1.4+（5/1.4^4-1.4)1/5=1.38

1.38+（5/1.38^4-1.38)1/5=1.379.

1.379+(5/1.379^4-1.379)1/5=1.3797.

计算次数与精确度成为正比。即5=1.3797^5.。

A=(X±Y)^k=展开。代人（1）式。我们在开方过程中把牛顿二项式定理转换成为牛顿切线法。（王晓明王蕊珂）

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