引言

推导过程

验证

杨辉三角的应用

引言

在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目。通过面积和体积的计算公式，可以推出相邻两数二次方和三次方的计算规律，再将其推演到不相邻两个数的N次方，同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，N次方的差可用于计算N维度的差。

推导过程

一、 由二次方看

首先，我们知道两个数的二次方的计算方法

已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：

5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9

几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加

4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7

几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加

所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：

(A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1)

对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到

(A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2

=[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2

几何上理解为：

长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。

同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：

P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q)

二、再看三次方的情况

我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：

已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。

设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图：(A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1)

A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1)

几何上的理解是：

长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。

对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体积的体积差，一般公式为：

P^3-Q^3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)]*(P-Q)

三、推广到四次方

同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：

(A+1)^4-A^4=(A+1)^(4-1)*A^(4-4)+(A+1)^(4-2)*A^(4-3)+(A+1)^(4-3)*A^(4-2)+(A+1)^(4-4)*A^(4-1)

不相邻两数的四次方之差的一般公式：

P^4-Q^4=[P^(4-1)*Q^(4-4)+P^(4-2)*Q^(4-3)+P^(4-3)*Q^(4-2)+P^(4-4)*Q^(4-1)]*(P-Q)

四、结论：两个数的n次方之差计算方法，

综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出

相邻两个数的n次方的差的一般公式：

P^n - Q^n=P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)*Q^(n-1)

不相邻两个数的n次方的差的一般公式：

P^n - Q^n=[P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)*Q^(n-1)]*(P-Q)

验证

⑴ 相邻两数的N次方的差的计算验证

3^4-2^4=81-16=65

3^4-2^4=3^3*2^0 + 3^2*2^1 + 3^1*2^2 + 3^0*2^3=65

6^6-5^6=46656-15625=31031

6^6-5^6=6^5*5^0 + 6^4*5^1 + 6^3*5^2 + 6^2*5^3 + 6^1*5^4 + 6^0*5^5=31031

⑵不相邻两数的N次方的计算验证

10^5-5^5=10000-3125=96875

10^5-5^5=[10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5+5*5*5*5]*5

=[10000+5000+2500+1250+625]*5=19375*5=96875

11^6-9^6=1771561-531441=1240120

11^6-9^6=[11^5*1+11^4*9+11^3*9^2+11^2*9^3+11^1*9^4+1*9^5]*(11-9)

=[161051+131769+107811+88209+72171+59049]*2

=620060*2=1240120

杨辉三角的应用

N次方差公式还可以由杨辉三角推导出，在计算次数不太高的N次方差时更简便快捷。

杨辉三角：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

…………

其中

第一行代表（a+b）的零次方展开式1每项的系数。

第二行代表（a+b）的一次方展开式a+b每项的系数。

第三行代表（a+b）的二次方展开式a^2+2ab+b^2每项的系数。

依此类推。

所以（a+b）的三次方的展开式便是

a^3+3a^2b+3ab^2+b^3（第四行）

如果是（a-b）的三次方，便是：a^3-3a^2b+3ab^2-b^3（就是把含有b的奇数次方所在的项的前面的加号变成减号）

注：“^”后面的数字为“^”前字母的指数。

(a+b)^3=a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3

(a-b)^3=a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3

(a+b)^3=(a+b)*(a+b)*(a+b)

=[(a+b)*a+(a+b)*b]*(a+b)

=(a^2+b^2+2ab)*(a+b)

=(a^2+b^2+2ab)*a+(a^2+b^2+2ab)*b

=a^3+b^3+3ab^2+3a^2b

=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)