九点共圆定理

九点圆的历史

九点圆的性质

九点共圆定理

九点共圆定理：三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这九点共圆.

九点圆的历史

九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工〔1771-1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.

九点圆的性质

九点圆具有许多有趣的性质,例如:

1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;

2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.

4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切.

5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VG VO=2HO

九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。

事先定义的变量与垂心、外心一样：

d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长^_^）。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。