区域上处处可微分的复函数。17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ（x，y)与流函数Ψ（x，y)有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f（z）＝Φ（x，y）＋iΨ（x，y）是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。

代数学基本定理的证明

应用和现状

解析函数analytic function

K. 魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 ，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD* ，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓 。解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，且D1∩D2≠ ，在D1∩D2上f（z)=g（z )则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（ f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。

边值问题

寻求满足一定边界条件的解析函数的一类问题，这是解析函数论在许多理论和实际问题中应用极为广泛的一个重要分支。下面是两个最典型的例子。

黎曼边值问题设l为复平面上一组有向的光滑曲线，把平面分割为若干个连通区域,要求一分区全纯函数(即在上述每一个连通区域内全纯）φ(z)使 (1)式中G(t),g(t)都是已知函数，而φ +(t)和φ -(t)分别表示当z从l的正侧（即沿l正向前进时的左侧）和负侧(右侧)趋于l上一点时φ(z)的极限值亦即边值。此外还应补充要求φ(z)在无穷远处至多有一极点。如果l中含有开口弧段，则也应说明要求φ(z)在l的端点附近的性态:具有不到一阶的奇异性。在G(t),g(t)满足一定的条件时,这一问题已完全解决。

希尔伯特边值问题　设G为一区域，l为其边界，取其正向使G在其左侧，要求在G内的一全纯函数φ(z)，使 (2)式中α(t)，b(t),с(t)都是l上已给的实函数。特别,当α(t)=1,b(t)=0时，则此希尔伯特边值问题就是解析函数的狄利克雷问题。当α(t),b(t),с(t)满足一定的条件时，上述边值问题已有较完整的讨论,但对G为多连通区域的情况还不能说已完全彻底解决。

有人把黎曼边值问题称作希尔伯特边值问题，而把希尔伯特边值问题称作黎曼－希尔伯特边值问题。这两个问题是有密切联系的，求解它们的主要工具都是柯西型积分。 进一步推广是在(1)或(2)中可以含有或者含有φ +(α(t)),φ -(α(t))，其中α(t)为l映于自身的一个同胚映射，保向或逆向，称为l的位移。这样,相应的问题就称为带共轭的或带位移的边值问题，当然也有既带共轭又带位移的边值问题。

如果把(1)或(2)中的φ(z)看作N维分区全纯向量，而把G(t),α(t),b(t)看作N×N矩阵,g(t),с(t)也看作N维向量,则就构成了分区全纯向量的边值问题。这类问题虽也有许多工作，但与N=1的情况相比较,还远远没有达到完善的地步。

由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。

基本性质

解析函数的导函数仍然是解析函数。

单连通域内解析函数的环路积分为0。

复连通域内，解析函数的广义环路积分（即包括内外边界，内边界取顺时针为正）为0。

代数学基本定理的证明

证明：设p为不是常数的复系数多项式，假设p没有复数根，则1/p是C上的解析函数。并且当z →∞时，p(z)→∞，或1/p→0，因此1/p是C上的有界解析函数，依据Liouville定理，任何这样的函数都是常函数，

但若1/p是常数，那么p是常数，这与p不是常数的假设矛盾。

应用和现状

解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。