正弦定理(正弦定理的变形公式)

余弦定理

解三角形(解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 解斜三角形： 斜三角形的解法：)

海伦-秦九韶公式

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。可以利用正弦定理和余弦定理等求解。

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）

正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;

(3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB.

(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.

(5)a/sinA=b/sinB=c/sinC=a+b/sinA+sinB=a+b+c/sinA+sinB+sinC.

（6）S=1∕2cbsinA=1∕2acsinB=1∕2absinC

余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bcCosA

b^2=a^2+c^2-2acCosB

c^2=a^2+b^2-2abCosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

三角形形状判断：

b²+c²=a²　cosA=0　A=90°　直角

b²+c²>a²　cosA>0　A>90°　锐角

b&sup2;+c&sup2;<a&sup2;　cosA<0　A<90°　钝角

解三角形

解直角三角形（斜三角形特殊情况）：

勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等.

解斜三角形：

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有

（1）正弦定理

a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径)

（2）余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bc*CosA

b^2=a^2+c^2-2ac*CosB

c^2=a^2+b^2-2ab*CosC

注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

（3）余弦定理变形公式

cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc

cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

斜三角形的解法：

已知条件　定理应用　一般解法

一边和两角
（如a、B、C,或a、A、B）　正弦定理　由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时
有一解

两边和夹角
(如a、b、C)　余弦定理　由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再
由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边
(如a、b、c)　余弦定理　由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C
在有解时只有一解。

两边和其中一边的对角
(如a、b、A)　正弦定理
（或余弦定理）　由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。（或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C）
①若a>b，则A>B有唯一解；②若b>a，且b>a>bsinA有两解；③若a<bsinA则无解。

海伦-秦九韶公式

公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

已知三条中线求面积

方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc，

则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

方法二：已知三边a,b,c,

则S=√&frac14;[a&sup2;c&sup2;－﹙a&sup2;+c&sup2;－b&sup2;/2﹚&sup2;]