基本概念

需要用到的不等式的性质

可遵循的一些同解原理

注意事项

解不等式组

基本概念

不等式是用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如2x+2y≥2xy，sinx≤1，ex>0 ，2x<3，5x≠5等 。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；也分一次或多次不等式。只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如lg(1+x)>x是超越不等式。

不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）、不等号（不等于号）

“≥”“≠”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

需要用到的不等式的性质

①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；

②如果x>y，y>z；那么x>z；

③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；

④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz;

⑤如果x>y，z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<0,那么x÷z<y÷z。

⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n

⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn

⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数）

如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以下是其中比较有名的。

⑨如果a>b，c>0,那么ac>bc

如果a>b,c<0,那么ac<bc

可遵循的一些同解原理

主要的有：

①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。

③如果不等式F（x）<G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）<0，那么不等式F（x）<G（x）与不等式H (x)F（x）>H（x）G（x）同解。

④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。

注意事项

1.符号：

不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。

2.确定解集：

比两个值都大，就比大的还大；

比两个值都小，就比小的还小；

比大的大，比小的小，无解；

比小的大，比大的小，有解在中间。

三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。

3.另外，也可以在数轴上确定解集：

把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。带=号的，数轴上的点是实心的，反之，就是空心的。

解不等式组

解不等式组，可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出来。

以两条不等式组成的不等式组为例，

①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”

②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”

③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集，此时一般表示为a<x<b，或a≤x≤b。此乃“相交取中”

④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。

5若两个未知数的解集出现如：x≤1,y≥1，则解只有1.

(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．

分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数，即指正数或零中的整数，所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．

解：

∴ 120-8x≥84-3(4x+1)

(2)∵10(x+4)+x≤84

∴10x+40+x≤84

∴11x≤44

∴x≤4

因为不大于4的非负整数有0，1，2，3，4五个，所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4，3，2，1，0．

例5 解关于x的不等式

(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)>n(n-x)

分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的，只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论，这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论，而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．

解：(1)∵ax+2≤bx-1

∴ax-bx≤-1-2

即 (a-b)x≤-3

此时要依x字母系数的不同取值，分别求出不等式的解的形式．

即(n-m)x>n2-m2

当m>n时，n-m<0，∴x<n+m；

当m<n时，n-m>0，∴x>n+m；

当m=n时，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时，不等式两边的值都为零，只能是相等的，所以不等式不成立．

例6 解关于x的不等式

3(a+1)x+3a≥2ax+3．

分析：由于x是未知数，所以把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，分别处理．

解：去括号，得

3ax+3x+3a≥2ax+3

移项，得

3ax+3x-2ax≥3-3a

合并同类项，得

(a+3)x≥3-3a

(3)当a+3=0，即a=-3，得0·x≥12

这个不等式无解．

说明：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其它字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论．

例7 m为何值时，关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)=4(5-x)的解是非正数．

分析：根据题意，应先把m当作已知数解方程，然后根据解的条件列出关于m的不等式，再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．

解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x

可解得 8x=20+17m

已知方程的解是非正数，所以

例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数，(2)负数，试确定k的取值范围．

分析：要确定k的范围，应将k作为已知数看待，按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式，求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式，而是依已知条件获得不等式，属于不等式的应用．

解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3

可解得 -2x=8k-4

即 x=2(1-2k)

(1)已知方程的解是非负数，所以

(2)已知方程的解是负数，所以

例9 当x在什么范围内取值时，代数式-3x+5的值：

(1)是负数 (2)大于-4

(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9

分析：解题的关键是把“是负数”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．

解：(1)根据题意，应求不等式

-3x+5<0的解集

解这个不等式，得

(2)根据题意，应求不等式

-3x+5>-4的解集

解这个不等式，得

x<3

所以当x取小于3的值时，-3x+5的值大于-4．

(3)根据题意，应求不等式

-3x+5<-2x+3的解集

-3x+2x<3-5

-x<-2

x>2

所以当x取大于2的值时，-3x+5的值小于-2x+3．

(4)根据题意，应求不等式

-3x+5≤4x-9的解集

-3x-4x≤-9-5

-7x≤-14

x≥2

所以当x取大于或等于2的值时，-3x+5的值不大于4x-9．

例10

分析：

解不等式，求出x的范围．

解：

说明：应用不等式知识解决数学问题时，要弄清题意，分析问题中数量之间的关系，正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”，“至少小2”，表示不仅少2，而且还可以少得比2更多．

例11 三个连续正整数的和不大于17，求这三个数．

分析：

解：设三个连续正整数为n-1，n，n+1

根据题意，列不等式，得

n-1+n+n+1≤17

所以有四组：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．

说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x<3的正整数解是1、2，它的非负整数解是0、1、2．

例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内，现要求热水温度不超过40℃，如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃，问通电最多多少分钟，水温才适宜？

分析：设通电最多x分钟，水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃，这时水温是(18.4+0.9x)℃，根据题意，应列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．

答案：通电最多24分，水温才适宜．

说明：解答此类问题时，对那些不确定的条件一定要充分考虑，并“翻译”成数学式子，以免得出失去实际意义或不全面的结论．

例13 矿山爆破时，为了确保安全，点燃引火线后，人要在爆破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人离开速度是5米/秒，问引火线至少需要多少厘米？

解：设引火线长为x厘米，

根据题意，列不等式，得

解之得，x≥48(厘米)

答：引火线至少需要48厘米．

*例14 解不等式|2x+1|<4．

解：把2x+1看成一个整体y，由于当-4<y<4时，有|y|<4，即-4<2x+1<4，

巧解一元一次不等式

怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式？现结合实例介绍一些技巧，供参考．

1．巧用乘法

例1 解不等式0.25x>10.5．

分析 因为0.25×4=1，所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便．

解 两边同乘以4，得x>42．

2．巧用对消法

例2 解不等式

解 原不等式变为

3．巧用分数加减法法则

故 y<-1．

4．逆用分数加减法法则

解 原不等式化为

，

5．巧用分数基本性质

例5 解不等式

约去公因数2后，两边的分母相同；②两个常数项移项合并得整数．

例6 解不等式

分析 由分数基本性质，将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算．

解 原不等式为

整理，得8x-3-25x+4<12-10x，

思考：例5可这样解吗？请不妨试一试．

6．巧去括号

去括号一般是内到外，即按小、中、大括号的顺序进行，但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径．

7．逆用乘法分配律

例8 解不等式

278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)>0．

分析 直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题．

解 原不等式化为

(x-3)(278-351×2+463)>0，

即 39(x-3)>0，故x>3．

8．巧用整体合并

例9 解不等式

3{2x-1-[3(2x-1)+3]}>5．

解 视2x-1为一整体，去大、中括号，得3(2x-1)-9(2x-1)-9>5，整体合并，得-6(2x-1)>14，

9．巧拆项

例10 解不等式

分析 将-3拆为三个负1，再分别与另三项结合可巧解本题．

解 原不等式变形为

得x-1≥0，故x≥1．

练习题

解下列一元一次不等式

③3{3x+2-[2(3x+2)-1]}≥3x+1．

答案

一元一次不等式及一元一次不等式组

一. 填空题（每题3分）

1. 若 是关于 的一元一次不等式,则 =_________.

2. 不等式 的解集是____________.

3. 当 _______时,代数式 的值是正数.

4. 当 时,不等式 的解集时________.

5. 已知 是关于 的一元一次不等式,那么 =_______,不等式的解集是_______.

6. 若不等式组 的解集为 ,则 的值为_________.

7. 小于88的两位正整数,它的个位数字比十位数字大4,这样的两位数有_______个.

8. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每枝钢笔5元,每个笔记本2元,那么小明最多能买________枝钢笔.

二. 选择题（每题3分）

9.下列不等式,是一元一次不等式的是 ( )

A. B.

C. D.

10.4与某数的7倍的和不大于6与该数的5倍的差,若设某数为 ,则 的最大整数解是( )

A.1 B.2 C.-1 D0

11.若代数式 的值不大于3,则 的取值范围是( )

A. B. C. D.

12.某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于商品积压,商品准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打( )折

A.6 B.7 C.8 D.9

13.若不等式组 的解集是 ,则 的取值范围是( )

A. B . C. D.

14.不等式 的解集是( )

A. B. C. D.

15.若不等式组 无解,则不等式组 的解集是( )

A. B. C. D.无解

16.如果 那么 的取值范围是( )

A. B. C. D.

三. 解答题

17.解下列不等式组（每题5分）

1) 2)

18.当 在什么范围内取值时,关于 的方程 有:

(1) 正数解;（6分）

(2) 不大于2的解.（6分）

19.如果关于 的不等式 正整数解为1,2,3,正整数 应取怎样的值?（10分）

20.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆.其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是0.3元.

(1) 若设一般车停放的辆数为 ,总保管费的收入为 元,试写出 与 的关系式;（5分）

(2) 若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆数不少于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围. （5分）

21.某旅游团有48人到某宾馆住宿,若全安排住宾馆的底层,每间住4人,房间不够;每间住5人,有一个房间没有住满5人.问该宾馆底层有客房多少间?（10分）

答案：

一． 填空题

1. m=1 2. 3. 4. 5.

6.2 7.5 8.13

二． 选择题

9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.A 15.C 16.A

三． 解答题

17.1） 2）

18.1） 2）

19.

20.1）

2）

21.设该宾馆有x间宿舍； 则x取10或11.

不等式组

1、2X+3>0

-3X+5>0

2、2X<-1

X+2>0

3、5X+6<3X

8-7X>4-5X

4、2（1+X）>3（X-7）

4（2X-3）>5（X+2）

5、2X<4

X+3>0

6、1-X>0

X+2<0

7、5+2X>3

X+2<8

8、2X+4<0

1/2（X+8）-2>0

9、5X-2≥3（X+1）

1/2X+1>3/2X-3

10、1+1/2X>2

2（X-3）≤4

3×60 <= x <= 3×70

1.2x+9y=81

3x+y=34

2.9x+4y=35

8x+3y=30

3.7x+2y=52

7x+4y=62

-4x>3

x+5>-1

4x<3x-5

1/7x<6/7

-8x>10

x=2>6

2x<10

x-2>o.1

-3x<10

x+3>-1

4x>-12

3(2x+5)>2(4x+3)

10_4(x-4)<2(X-1)

5x+1/6-2>x-5/4

2x+5<10

1.2x+9y=81

3x+y=34

2.9x+4y=35

8x+3y=30

3.7x+2y=52

7x+4y=62

4.4x+6y=54

9x+2y=87

5.2x+y=7

2x+5y=19

6.x+2y=21

3x+5y=56

7.5x+7y=52

5x+2y=22

8.5x+5y=65

7x+7y=203

9.8x+4y=56

x+4y=21

4x+7y=95

19.9x+2y=38

3x+6y=18

20.5x+5y=45

7x+9y=69

21.8x+2y=28

7x+8y=62

22.x+6y=14

3x+3y=27

23.7x+4y=67

2x+8y=26

24.5x+4y=52

7x+6y=74

25.7x+y=9

4x+6y=16

26.6x+6y=48

6x+3y=42

27.8x+2y=16

7x+y=11

28.4x+9y=77

8x+6y=94

29.6x+8y=68

7x+6y=66

30.2x+2y=22

7x+2y=47

x-7>26

3x<2x+1

2/3x>50

23.7x+4y=67

2x+8y=26

24.5x+4y=52

7x+6y=74

25.7x+y=9

4x+6y=16

26.6x+6y=48

6x+3y=42

27.8x+2y=16

7x+y=11

28.4x+9y=77

8x+6y=94

29.6x+8y=68

7x+6y=66

30.2x+2y=22

7x+2y=47

23.7x+4y=67

1.2x+9y=81

3x+y=34

2.9x+4y=35

8x+3y=30

3.7x+2y=52

7x+4y=62

4.4x+6y=54

9x+2y=87

5.2x+y=7

2x+5y=19

6.x+2y=21

3x+5y=56

7.5x+7y=52

5x+2y=22

8.5x+5y=65

7x+7y=203

9.8x+4y=56

x+4y=21

10.5x+7y=41

5x+8y=44

11.7x+5y=54

3x+4y=38

12.x+8y=15

4x+y=29

13.3x+6y=24

9x+5y=46

14.9x+2y=62

4x+3y=36

15.9x+4y=46

7x+4y=42

16.9x+7y=135

4x+y=41

17.3x+8y=51

x+6y=27

18.9x+3y=99

4x+7y=95

19.9x+2y=38

3x+6y=18

20.5x+5y=45

7x+9y=69

21.8x+2y=28

7x+8y=62

22.x+6y=14

3x+3y=27

23.7x+4y=67

2x+8y=26

24.5x+4y=52

7x+6y=74

25.7x+y=9

4x+6y=16

26.6x+6y=48

6x+3y=42

27.8x+2y=16

7x+y=11

28.4x+9y=77

8x+6y=94

29.6x+8y=68

7x+6y=66

30.2x+2y=22

7x+2y=47