价值函数

value function

反映集合中元素间序关系的函数.设≽是在集合X上的一弱序,且X的无差异类的集X是可测的,则存在一实值函数v∶X→R,使对X中的任何x和y有:x≽y当且仅当v(x)≥v(y),或者x≻y当且仅当v(x)>v(y),以及x~y当且仅当v(x)=v(y).在构造价值函数时,对X中的每个元素设定一相应的v值,它表示该元素排列的次序.i个元素排序的目录记为L(i).

1.令v(x1)=0,L(1)={1}.

2.设x2≻x1,可令v(x2)=1,并令

L(2)={2,1}.

3.由x3≻x2≻x1,可令v(x3)=2,并令

L(3)={3,2,1}.

4.观察到x3≻x4≻x2,令

则L(4)={3,4,2,1}.

5.观察到x5≻x3≻x4,可令v(x5)=3,则

L(5)={5,3,4,2,1}.

6.观察到x6≻x5≻x3,可令v(x6)=4,则

L(6)={6,5,3,4,2,1}.

7.观察到x3≻x7≻x4,令

则L(7)={6,5,3,7,4,2,1}.

8.可以类似地继续排出x8,x9,…,并设定或计算相应的v值.设v为在X上由优先序≽所产生的一价值函数.令V为定义在v(X)上的一严格递增的实值变换(保序变换),即V(v1)>V(v2)当且仅当v1>v2;V(v1)=V(v2)当且仅当v1＝v2.这样,对于任何x,y∈X,有x≽y当且仅当V*(x)≥V*(y),而V*(x)=V(v(x)).令X⊂Rn,≽是在X上的一弱序,再设:

1) 对于任何x,y∈X,x≥y,均有x≻y;

2) 对于任何x,y,z∈X,若x≻y≻z,必有一个

λ∈(0,1), 使y~λx+(1-λ)z,

则存在一定义在X上的实值函数v,适合:x≽y当且仅当v(x)≥v(y);x≻y当且仅当v(x)>v(y).设有一定义在集合Y上的价值函数v,v(y)称为是可测的当且仅当v反映了在Y中各元素的顺序和在Y中的元素之差的顺序.