积分几何

integral geometry

数学中通过各种积分研究图形性质的一门学科，本质上属于整体微分几何范畴。起源于几何概率的研究，发展也始终与几何概率相联系。几何概率的研究以图形集合的测度为基础 ，因而导致积分几何的建立 。最早的几何概率问题是G.-L.-L.de布丰提出并予以解决的投针问题 ，19世纪后期，M.W.克罗夫顿已得到 了一系列的积分公式 ，这些至今仍是积分几何中的基本公式。同时，J.L.F.贝特朗发现，对于同一个几何概率问题，因测度的不同导致相互矛盾的解答。后来，H.庞加莱指出，只须要求所采用的测度在一定变换群下不变，矛盾就会避免。于是，几何概率与变换群结合形成了积分几何的基础 。1935年W.布拉施克与他的合作者发表了一系列论文，积分几何开始作为几何的一个分支得到系统而深入的发展。由于积分几何与概率以及统计紧密相联系，故在许多学科中都有应用。积分几何的研究是从欧几里得平面和三维欧几里得空间开始的，以后推广到高维欧几里得空间和非欧几里得空间，最后归结为满足一定条件的齐性空间。常曲率空间的积分几何主要有：欧几里得平面的积分几何；几维欧几里得空间的积分几何；非欧空间的积分几何及齐性空间的积分几何等。