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词条 Lotka-Volterra模型
释义

Lotka-Volterra模型

20世纪40年代,Lotka(1925)和Volterra(1926)奠定了种间竞争关系的理论基础,他们提出的种间竞争方程对现代生态学理论的发展有着重大影响。

Lotka-Volterra模型(Lotka-Volterra种间竞争模型)是对逻辑斯蒂模型的延伸。现设定如下参数:

N1、N2:分别为两个物种的种群数量

K1、K2:分别为两个物种的环境容纳量

r1、r2 :分别为两个物种的种群增长率

依逻辑斯蒂模型有如下关系:

dN1 / dt = r1 N1(1 - N1 / K1)

其中:N/K可以理解为已经利用的空间(称为“已利用空间项”),则(1-N/K)可以理解为尚未利用的空间(称为“未利用空间项”)

当两个物种竞争或者利用同一空间时,“已利用空间项”还应该加上N2种群对空间的占用。则:

dN1 / dt = r1 N1(1 - N1 / K1 - αN2 / K1) ————(1)

其中,α:物种2对物种1的竞争系数,即每个N2个体所占用的空间相当于α个N1个体所占用空间。

则有,β:物种1对物种2的竞争系数,即每个N1个体所占用的空间相当于β个N2个体所占用空间。则另有:

dN2 / dt = r2 N2(1 - N2 / K2 - βN1 / K2) ————(2)

如我们所知:

当物种N1种群(物种1)的环境容纳量为K1时,N1种群中每个个体对自身种群的增长抑制作用为1/K1;

同理,N2种群中每个个体对自身种群的增长抑制作用为1/K2。

另外,从(1)、(2)两个方程以及α、β的定义中可知:

N2种群中每个个体对N1种群的影响为:α/K1

N1种群中每个个体对N2种群的影响为:β/K2

因此,当物种2可以抑制物种1时,可以认为,物种2对物种1的影响 > 物种2对自身的影响,即 α/K1 > 1/K2。

整理后得:K2 > K1/α,同理有:

物种2不能抑制物种1:K2 < K1/α

物种1可以抑制物种2:K1 > K2/β

物种1不能抑制物种2:K1 < K2/β

这样,在竞争的过程中,由于K1、K2、α 以及 β 的数值不同,可能会产生如下四种结果:


 物种1能抑制物种2
(K1 > K2/β) 物种1不能抑制物种2
(K1 < K2/β)

物种2能抑制物种1
(K2 > K1/α) 两物种都有可能得胜
(结果3) 物种2总是得胜
(结果2)

物种2不能抑制物种1
(K2 < K1/α) 物种1总是得胜
(结果1) 两物种都不能抑制对方
(结果4:稳定平衡)

那么,当N2种群达到何种密度时,刚好使N1种群保持在0水平上?换言之,每个种群达到什么样的密度时才能阻止另一个种群的增长呢?

结论是,N2种群达到K1/α,N1就再也不能增长

或者说,N1种群达到K2/β,N2就再也不能增长

可以得到两个物种的各自的平衡线如下:

将两平衡线叠合起来,则得到四种不同的结局:

何为平衡呢,就是N1和N2种群的数量都不发生变化,即:

1 / dt = r1 N1(1 - N1 / K1 - αN2 / K1)= 0 ————(1)

2 / dt = r2 N2(1 - N2 / K2 - βN1 / K2)= 0 ————(2)

满足两个方程时,两种种群平衡,则显然焦点既是平衡点。

那么,对于结果1和结果2,两个种群的平衡线没有焦点,则不可能达到平衡,总是有一方最终被完全排挤掉。

结果3虽然存在一个平衡点,但是很不稳定,只要自然条件的微小波动造成偏离平衡点,那么其中占优的一方就会最终取得生存竞争的胜利。

结果4是一个稳定的平衡,无论N1和N2种群数量的组合(N1,N2)落在直角坐标系内哪一区域,最终都将使得N1种群和N2种群的数量趋向平衡点。

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更新时间:2025/3/15 14:41:26