Kac–Moody代数是一个李代数, 通常无限维, 其定义自(Victor Kac所谓的)广义根系. Kac–Moody 代数的应用遍及数学和理论物理学.

定义

假定以下材料:

C = (c_) ——一个r阶广义嘉当矩阵(generalised Cartan matrix) C = (c_)r.

\\mathfrak ———— 一个 2n − r维复向量空间 \\mathfrak.

\\mathfrak^* ———— \\mathfrak的对偶空间

\\alpha_i\\ ————\\mathfrak 中n枚相互独立的元，称为对偶根'(co-root)

\\alpha_i^* ————\\mathfrak^* 中n枚线性相互独立的元 ,称为根(root)

上述各元满足 \\alpha_i^*(\\alpha_j) = c_.

Kac–Moody代数\\mathfrak由符号 e_i , f_i (i=1,..,n) 及空间\\mathfrak 生成;

以上各元满足以下关系:

[url=e_i,f_i][1] = \\alpha_i.\\

[url=e_i,f_j][2] = 0\\ ；其中 i \eq j.

[url=e_i,x][3]=\\alpha_i^*(x)e_i, 其中x \\in \\mathfrak.

[url=f_i,x][4]=-\\alpha_i^*(x)f_i, 其中 x \\in \\mathfrak.

[url=x,x'][5] = 0\\ ；其中 x,x' \\in \\mathfrak.

(其中 \\mathcal C_\\;y = [url=x,y][6].)

一个实(维数可以无限)李代数亦可称为 Kac–Moody代数, 若其复化是个 Kac–Moody代数.

释义

\\mathfrak 是此 Kac–Moody 代数的一嘉当子代数。

若g是 Kac–Moody 代数的一元，使得

\\forall x\\in \\mathfrak\\,[url=g,x][7]=\\omega(x)g

其中 ω 是 \\mathfrak^*的一元，

则称g为幂(weight) ω的. 吾人可分解一Kac–Moody 代数成其幂空间，则嘉当子代数 \\mathfrak has 幂 zero,eihas 幂 α*iandfihas 幂 −α*i. 若二幂特征向量的李括号非零, 则其幂是二幂之和. (若 i \eq j ) 则 [url=e_i,f_j][8] = 0\\ 一条件即指 α*i都是简单根.