支集

广义函数

广义导数

举例

2O世纪7O年代相继出现了各种广义导数（Generalized Derivatives）的概念。广义导数的定义与支集、δ函数的概念密切相关。为此，先给出一些预备的知识。

支集

f(x)的支集是指：spt(f)={x∈R|f(x)≠0}

C∞(R)表示：具有紧支集且无限次可微函数组成的空间

定义 1　设Fn(x)∈C∞(R)，若满足：

（1）存在紧集K，使得spt (Fn(x)) 包含在K内；

（2）对于任意的a>0，limsup|T^{(a)} (Fn(x)-F(x))|=0;

称 Fn(x)-->F(x) on C∞(R) (当n->∞)

广义函数

定义 2　记D*(R)={F(x)∈C∞(R) | 存在Fn(x)∈C∞(R)，s.t. Fn(x)-->F(x) (n-->∞)}

定义 3 设f在R上局部可积（即对任意紧集K，∫_{K} |f(x)|dx<∞)

则f(x)确定了一个D*(R)的广义函数T_f：

T_f(F)=<f,F>=∫_{R} f(x)F(x)dx (对任意F∈D*(R))

定义 4 (δ函数)　T_δ(F)=∫_{R} δ(x)F(x)dx=δ(0) (对任意F∈D*(R))

广义导数

定义 5　设 f(x)在x=x0有一类间断点，跃度为h,

若 其常义导数f'(x)在R\\{x0}上连续，

则 其广义导数D_f(x)=f'(x)+hδ(x-x0).

举例

例如　已知　sgn(x)=x/|x|，则

常义导数为：sgn'(x)=0 (x≠0)

广义导数为：D_{sgn} (x)=2δ(x)