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词条 广义导数
释义

2O世纪7O年代相继出现了各种广义导数(Generalized Derivatives)的概念。广义导数的定义与支集、δ函数的概念密切相关。为此,先给出一些预备的知识。

支集

f(x)的支集是指:spt(f)={x∈R|f(x)≠0}

C∞(R)表示:具有紧支集且无限次可微函数组成的空间

定义 1 设Fn(x)∈C∞(R),若满足:

(1)存在紧集K,使得spt (Fn(x)) 包含在K内;

(2)对于任意的a>0,limsup|T^{(a)} (Fn(x)-F(x))|=0;

称 Fn(x)-->F(x) on C∞(R) (当n->∞)

广义函数

定义 2 记D*(R)={F(x)∈C∞(R) | 存在Fn(x)∈C∞(R),s.t. Fn(x)-->F(x) (n-->∞)}

定义 3 设f在R上局部可积(即对任意紧集K,∫_{K} |f(x)|dx<∞)

则f(x)确定了一个D*(R)的广义函数T_f:

T_f(F)=<f,F>=∫_{R} f(x)F(x)dx (对任意F∈D*(R))

定义 4 (δ函数) T_δ(F)=∫_{R} δ(x)F(x)dx=δ(0) (对任意F∈D*(R))

广义导数

定义 5 设 f(x)在x=x0有一类间断点,跃度为h,

若 其常义导数f'(x)在R\\{x0}上连续,

则 其广义导数D_f(x)=f'(x)+hδ(x-x0).

举例

例如 已知 sgn(x)=x/|x|,则

常义导数为:sgn'(x)=0 (x≠0)

广义导数为:D_{sgn} (x)=2δ(x)

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更新时间:2025/3/19 17:16:21