欧拉算法

欧拉公式

改进的欧拉算法

欧拉算法

微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。对于常微分方程：

dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]

y(a)=y0

可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：

yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L

这就是欧拉格式，若初值yi+1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1,y2,L。

为简化分析，人们常在yi为准确即yi=y(xi)的前提下估计误差y(xi+1)-yi+1，这种误差称为局部截断误差。

如果一种数值方法的局部截断误差为O(h^（p+1）)，则称它的精度是p阶的，或称之为p阶方法。欧拉格式的局部截断误差为O(h^2)，由此可知欧拉格式仅为一阶方法。

欧拉公式

y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)

且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)

局部截断误差是O(h^2)

改进的欧拉算法

先用欧拉法求得一个初步的近似值，称为预报值，然后用它替代梯形法右端的yi+1再直接计算fi+1，得到校正值yi+1，这样建立的预报-校正系统称为改进的欧拉格式：

预报值 y~i+1=yi+1 + h*f(xi,yi)

校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]

它有下列平均化形式：

yp=yi+h*f(xi,yi)

且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)

且 yi+1=(yp+yc)/2

它的局部截断误差为O(h^3)，可见，改进欧拉格式较欧拉格式提高了精度，其截断误差比欧拉格式提高了一阶。

注：欧拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h 近似代替y(xi)的导数，局部截断误差较大；改进欧拉法先用欧拉法求出预报值，再利用梯形公式求出校正值，局部截断误差比欧拉法低了一阶，较大程度地提高了计算精度。