复数Z=a+bi和实数对(a，b)一样可以和坐标平面上的一点建立一一对应关系，这样与全体复数建立了一一对应关系的坐标平面叫做复数平面，简称复平面(Complex plane)，又叫高斯平面。

复平面(复平面特点 复数的几何表示)

数学史

复平面

复平面的横轴上的点对应所有实数,故称实轴,纵轴上的点(原点除外)对应所有纯虚数,故称虚轴.

在复平面上，复数还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应，因此复数z也能用向量Z来表示（如右图）。向量的长度称为Z的模或绝对值，记作

|z|=r= √(x^2+y^2 ) 。

除未塞尔(1745-1817),阿工(1768-1822)的工作外,科兹(1707-1783)棣美弗(1667-1754),欧拉 (1707-1783),范德蒙(1735-1796),也曾认识到平面上的点可与复数一一对应,这一点从他们把二项方程的根看作一个正多边形的顶点一事获得证实.但是,在这方面高斯的贡献是十分重要的,他的著名代数学基本定理是在假设坐标平面上的点与复数可以 一一对应的前提下推出的.

1831年,高斯在《哥庭根学报》上详细说明了复数 a+bi表示成平面上的一个点(a,b).从而明确了复平面 的概念,他又将表示平面点的直角坐标与极坐标加以综合,统一于表示同一复数的二种表示形式——复数的代 数形式及三角形式之中.高斯还给出了「复数」这个名称,由于高斯的卓越贡献,后人常称复数平面为高斯平面.

复平面特点

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴，原点表示实数0，原点不在虚轴上。复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的．

复数的几何表示

1 三角表示式：

在z≠0的情况下，以正实轴为始边，以表示z的向量Z为终边的角的弧度数θ称为z的辐角，记作Argz=θ。这时有:tg(Argz)=y/x.

任意一个复数z≠0有无穷多个辐角。如果θ1是其中的一个，那么，Argz=θ1+2kπ(k为任意整数)，就给出了z的全部辐角。在（z≠0）的辐角中，我们把满足-π<θo<π的θo称为Argz的主值，θo=argz.

当z=0时，|z|=0,而辐角不确定。

利用直角坐标与极坐标的关系：x=rcosθ，y=rsinθ，把z表示成z=r(cosθ+isinθ),称为复数的三角表示式。

2指数表示式：

利用欧拉（Euler）公式 e^iθ=cosθ+i sinθ：，可以得到z=re^iθ,称为复数的指数表达式。

数学史

17世纪时，英国数学家瓦里士已经意识到在直线上不能找到虚数的几何表示。1797年，挪威的测量学家维塞尔向丹麦科学院递交论文《方向的解析表示，特别应用于平面与球面多边形的测定》，首先提出把复数用坐标平面上的点来表示，使全体复数与平面上的点建立了一一对应关系，形成了复平面概念。但当时没有受到人们的重视。1806年，日内瓦的阿工在巴黎发表的论文《虚量，它的几何解释》，也谈到了复数的几何表示法。他用“模”这个名词来表示向量的长度，模这术语就源出于此。

伟大的德国数学家高斯是近代数学的奠基人之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。他在1799年已经知道复数的几何表示，在1799年、1815年、1816年对代数基本定理作出的三个证明中，都假定了复数和直角坐标平面上的点一一对应，但直到1831年他才对复平面作出详细的说明。他说：“迄至目前为止，人们对于虚数的考虑，依然在很大的程度上把虚数归结为一个有毛病的概念，以致给虚数蒙上一层朦胧而神奇色彩。我认为只要不把+1、-1、i叫做正一、负一和虚一，而称之曰向前一，反向一和侧向一，那么这层朦胧而神奇的色彩即可消失。”此后，人们才接受了复平面的思想，有些人还把复平面称为高斯平面。

利用复数的几何表示法，复数又可以用坐标平面上的向量来表示，两个复数相加可以按照向量加法的平行四边形法则来进行，一个复数乘以 i(或 -i)相当于表示此复数的向量逆(或顺)时针旋转90。这就使得物理上的许多向量：力、速度、加速度等等，都可以借助于复数来进行计算，使复数成为物理学和其他自然科学的重要工具。